Question

[Robot]

Ce n'est pas jouer sur les mots, c'est être précis (indispensable en mathématiques). Et quel serait l'avantage de dire " est infiniment petit" plutôt que " a une limite nulle" ?

[Pseuda]

@ Ben314

Au risque de me répéter, j'ai remarqué du coup dans des ouvrages mathématiques, qu'il est fait mention d'"infiniment petit" et d'"infiniment grand". Ils sont peut-être anciens, ou écrits par des auteurs dépassés...

Pour la notation dx, la différence avec les notations que tu cites : +,x,! ..., c'est que le dx, on se demande à quoi il sert, pas le +,x,!.. .

L'intérêt aussi d'expliciter dx, c'est de faire le lien (du moins dans la notation) entre le calcul intégral et le calcul différentiel.

[Sylviel]

PSEUDA : tu sembles dire que tu as des élèves en terminale, es-tu certifiée de maths ?

"Non, ce qui n'est pas une différence "infiniement petite", mais une différence finie, qui tends vers 0 quand n tends vers l'infini." : C'est jouer sur les mots.

Non ce n'est pas jouer sur les mots. C'est ne pas confrondre u_1000 ou u_{10^1000} avec le comportement de la suite u_n quand n tends vers l'infini.

On peut donner à "infiniment petit" la définition : quantité qui tend vers 0, ou qui est aussi petite que l'on veut, et à "infiniment grand" : quantité qui tend vers +oo, ou qui est aussi grande que l'on veut.

Encore faudrait-il définir par une notation mathématique : "aussi petit ou aussi grand que l'on veut".

Heu, commençons par définir quantité ici. Ta quantité c'est quoi ? Un réel ? Un complexe ? Une suite ? Une fonction ?

Quand on écrit la définition de "la suite u_n tends vers 0" on écrit

Dans cette phrase mathématique \epsilon n'est pas "un infiniment petit", c'est un réel strictement positif, que l'on peut choisir "aussi petit que l'on souhaite" puisque la propriété est vraie pour tout epsilon.

Pour le dx soit tu expliques la construction de l'intégrale pour comprendre d'où il vient, soit tu dis que c'est une manière de dire par rapport à quoi l'on intègre comme l'a souligné Ben.

P.S: de quel type "d'ouvrages mathématiques" parles-tu ? Dans quel cadre écrivent-ils "infiniement petit" ?

[Robot]

Ben justement, que signifie en calcul différentiel ? Certainement pas un infiniment petit, mais une forme différentielle !

[Ben314]

Tu pointes du doigt dans la mauvaise direction :
1°) La relation que tu définis n'est pas un ordre strict : on a , en suivant ta définition (je rappelle que est représenté dans les réels de Llort par la suite d'intervalles emboîtés ).
2°) Avec ta définition on a encore . As-tu besoin d'une démonstration ?

Je viens de voir que j'avais "zappé" ce message :
Et, effectivement, j'ai raconté... n'importe quoi...

...dans des ouvrages mathématiques, qu'il est fait mention d'"infiniment petit" et d'"infiniment grand"...

Tu peut citer tes sources, s.t.p. (manuels scolaires ?)

Pour la notation dx, la différence avec les notations que tu cites : +,x,! ..., c'est que le dx, on se demande à quoi il sert, pas le +,x,!.. .

Tu as toi même donné la réponse : il sert à savoir par rapport à quelle variable on intègre, point final (et il me semble t'avoir déjà dit qu'il est on ne peut plus "standard" de l'omettre lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté)
Et sinon, si tu cherche des réponse à donner à des élèves, le dx il a un autre intérêt bien pratique dans certains cas, celui de servir de END (dans le sens des blocs BEGIN...END en programmation) à une intégrale : avec le symbole sigma de la somme, c'est des fois un peu chiant et on est obligé de mettre des parenthèses pas toujours bien lisible pour délimiter la portée du symbole :
<- sans ambiguïté <- ambigu

Et, je continue a penser que, pédagogiquement parlant, de devoir dire, par exemple, que la pente de la tangente à la parabole y=x² en (0,0) est "infiniment petite", plutôt que de dire qu'elle est totalement nulle, c'est VRAIMENT, mais alors VRAIMENT chercher la merde... (avec les notations de Leibnitz, donc si je suis ta façon de voir les choses, tout ce qu'on peut dire, c'est que la pente "tend vers 0", mais n'est pas égale à 0 )


EDIT : Un peu redondant avec ce qu'a écrit Sylviel juste au dessus mon truc...
désolé Sylviel : j'avais pas tout lu...

[Pseuda]

...dans des ouvrages mathématiques, qu'il est fait mention d'"infiniment petit" et d'"infiniment grand"...

Tu peut citer tes sources, s.t.p. (manuels scolaires ?)

Dans pratiquement tous les livres que j'ai sous la main : Lelong-Ferrand & Arnaudiès (recommandé par nos professeurs de mathématiques en Université), Dixmier...

Vous me trollez ou quoi ?

Par exemple, dans Lelong-Ferrand : "f est infiniment petite par rapport à g si f=o(g) (notation de Landau)". Dans Dixmier : "si f est équivalente à ax^n, on dit que ax^n est la partie principale de f(x), et que f(x) est un infiniment petit d'ordre n". (et c'est écrit en gras en plus)

Bon, je ne crois que ce que je vois, je vais me documenter plus avant sur ce mystère (est-ce une question de terminologie, est-ce que la clé tient à l'évolution de l'analyse entre Newton-Leibniz et Cauchy-Weierstrass).

En tout cas, merci beaucoup de tes remarques et conseils avisés !

[Ben314]

Dans ce cas, je vais te dire, comme quand je suis un peu énervé avec mes étudiant, qu'il serait pas con d'apprendre à lire les phrases mathématiques en entier et de ne pas en conserver que des bribes:

"f est infiniment petite par rapport à g si f=o(g) (notation de Landau)".
"si f est équivalente à ax^n, on dit que ax^n est la partie principale de f(x), et que f(x) est un infiniment petit d'ordre n". (et c'est écrit en gras en plus)

Sans parler du fait qu'il ne serait pas con non plus de faire la différence entre un réel et une fonction : on est bien d'accord que, dans les deux cas, c'est de fonctions qu'on parle et pas de réels ? (a moins que, quand tu nous dit que, pour toi, le dx est un "infiniment petit", ça veut dire que tu voit le dx comme une fonction ?)

P.S. : Et si tu avais dit dés le départ que tu parlais à tes Lycéens de fonctions négligeables par rapport à une autre fonction au voisinage de xo ou bien de fonction infiniment petites d'ordre n au voisinage de xo, je pense que je ne t'aurais pas autant agressé sur l'utilisation du mot "infiniment" (mais j'aurais sans doute émis des objection d'une tout autre nature...)

[Pseuda]

Non ce n'est pas jouer sur les mots. C'est ne pas confrondre u_1000 ou u_{10^1000} avec le comportement de la suite u_n quand n tends vers l'infini.

Ok, il faut distinguer :
- la limite : 0 ou +oo
- la variable, la fonction ou la suite qui tend vers 0 ou + oo (que j'appelle un infiniment petit ou grand, mais il ne faut pas)
- le nombre epsilon > 0 ou A réel, qui sert à démontrer la limite avec des quantificateurs et la relation d'ordre.

Me trompé-je ?

[Pseuda]

Ce n'est pas jouer sur les mots, c'est être précis (indispensable en mathématiques). Et quel serait l'avantage de dire " est infiniment petit" plutôt que " a une limite nulle" ?

Justement je ne vois pas la différence, pour moi c'est (c'était) synonyme. Merci.

[Robot]

Il y a tout de même une différence :

Si on dit " est infiniment petit", c'est idiot parce que le nombre individuel n'a rien d'infiniment petit. Ce que tu veux exprimer, ce n'est pas une propriété de en tant que tel, c'est une propriété de la suite . Et quelle propriété ? La propriété que la suite a 0 pour limite.
Ma question était : que gagnerait-on à remplacer quelque chose de précis et de bien défini par un truc vaseux ?

[Pseuda]

Il y a tout de même une différence :

Si on dit " est infiniment petit", c'est idiot parce que le nombre individuel n'a rien d'infiniment petit. Ce que tu veux exprimer, ce n'est pas une propriété de en tant que tel, c'est une propriété de la suite . Et quelle propriété ? La propriété que la suite a 0 pour limite.
Ma question était : que gagnerait-on à remplacer quelque chose de précis et de bien défini par un truc vaseux ?

Je voulais dire bien évidemment "la suite (un)" et non pas "un". Je vois ce que tu veux dire et le comprends bien.
N'empêche qu'il y a des cas où ce terme peut être utile, par exemple, quand on ne parle pas d'une limite, mais quand on compare 2 fonctions (une fonction infiniment petite par rapport à une autre) ou une fonction avec le degré d'un polynôme (infiniment petit d'ordre n), ou d'autres cas comme le dx (où on s'intéresse plus au fait que la variable tend vers 0 qu'à la limite en elle-même)....

[Pseuda]

Bon, je ne répondrai plus sur ce topic, où pour l'instant je n'ai rien fait d'autre que de perdre mon temps.
En effet, quelqu'un a soulevé un lièvre, puis personne n'a pu répondre à la question "pourquoi ne doit-on pas employer le terme d''infiniment petit" en mathématiques ?", alors que ce terme se trouve de toute évidence dans tous les livres de maths.

[Robot]

Quel "terme qui peut être utile" ? Pour la comparaison asymptotique des fonctions, on a les notions d'équivalence, de domination, de négligeabilité avec les notation . Et là aussi, ça peut s'exprimer comme limite de rapport de deux fonctions.

Quant au dx, je ne saisis toujours pas ce que tu veux dire. C'est quoi pour toi, dx ?

alors que ce terme se trouve de toute évidence dans tous les livres de maths.

Ce n'est pas parce qu'une contre-vérité est affirmée "de toute évidence" qu'elle devient une vérité.

[Ben314]

En effet, quelqu'un a soulevé un lièvre, puis personne n'a pu répondre à la question "pourquoi ne doit-on pas employer le terme d''infiniment petit" en mathématiques ?", alors que ce terme se trouve de toute évidence dans tous les livres de maths.

Parce que, tel que tu as présenté les chose au début, il semblait que tu parlait de réels infiniment petits et pas de couples fonctions dont l'une est infiniment petite devant l'autre (dont on parle effectivement dans certains livre, et encore, je pense que le terme "est un petit o de" ou de "négligeable devant" est bien plus usité que "infiniment petite par rapport à" ).

Ou alors, tu pense que "pour ne pas les embrouiller" il faut dire aux élèves qu'un réel et une fonction c'est la même chose ? (et même dans ce cas là, c'est quoi qui joue le rôle de la deuxième fonction dans le "est un petit o de" ? ou si c'est "un infiniment petit d'ordre n", c'est quoi le n ?)

Et concernant le "pourquoi il ne faut pas en parler", je te l'ai déjà dit deux fois. et je ne le ferais pas une troisième fois.

[Sylviel]

"pourquoi ne doit-on pas employer le terme d''infiniment petit" en mathématiques ?"

On peut employer le terme "infiniment petit", mais à bon escient (et je ne vois pas d'exemple où il n'y a pas un autre terme plus adapté). Mais il ne faut pas dire :
- que epsilon est infiniment petit (epsilon est un réel positif, il a une valeur finie)
- que un est infiniment petit (c'est aussi 1 réel, la suite (u_n) devient éventuellement infiniement petite quand n tends vers l'infini -- et encore, autant dire que ça tends vers 0 -- mais pas une valeur de u_n)
- le dx de l'intégrale est infiniment petit, sauf dans le cadre d'une explication intuitive de Riemann.

[Pseuda]

Bonjour,

Entièrement d'accord avec toi, Sylviel.

Ce que tu ne veux pas comprendre, Ben314, c'est que pour l'homme de la rue, le lycéen, et les gens comme moi qui n'ont qu'un niveau Capes en mathématiques, l'infiniment petit et l'infiniment grand ont une signification : aussi petit que l'on veut, aussi grand que l'on veut. Ceci une REALITE. Ces mots signifient intuitivement : qui tend vers 0 ou qui tend vers +oo (encore que pour certains, infiniment petit signifie tendre vers -oo, passons).

Et que pour toi, qui est (a été) prof à l'Université, avec tout le respect que je te dois, ces mots signifient une autre REALITE, celle utilisée par Newton-Leibniz, qui, parce qu'elle a mené à des contradictions, des erreurs (je veux bien te croire, mais je voudrais bien savoir lesquelles), n'existe pas en mathématiques.

Parce que pour l'homme de la rue, le contraire de l'infini, c'est fini, et que pour lui, les nombres ne sont pas "finis", il n'y en a pas un plus grand et un plus petit, donc ils sont "infinis".

De toute façon, je pense que l'infini est une notion qui nous dépasse, pour le pauvre être humain borné et limité que nous sommes. Il me semble que nous entrevoyons un concept qui existe, mais que nous ne comprenons pas (pas de chance).

Et, comme a dit très justement Beagle, ce n'est pas en supprimant un mot que nous allons supprimer l'idée qui nous dérange. Ce n'est pas en supprimant le mot "crime", qu'on va supprimer le crime.

PS : pour mettre encore un peu d'huile sur le feu, je lis encore dans le Dixmier :
"Rappelons que f(x) est dit un infiniment petit quand x-> xo, si f(x) ->0 quand x->xo".
D'ailleurs, au vu des définitions des livres, f(x) ou f=o(1) signifie que f est un infiniment petit d'ordre n , ou infiniment petite par rapport à 1 (ou négligeable par rapport à 1), si f(x)->0 quand x->0.

[Pseuda]

Et, je continue a penser que, pédagogiquement parlant, de devoir dire, par exemple, que la pente de la tangente à la parabole y=x² en (0,0) est "infiniment petite", plutôt que de dire qu'elle est totalement nulle, c'est VRAIMENT, mais alors VRAIMENT chercher la merde... (avec les notations de Leibnitz, donc si je suis ta façon de voir les choses, tout ce qu'on peut dire, c'est que la pente "tend vers 0", mais n'est pas égale à 0 )

Pas du tout. Tu n'as pas compris ce que j'ai dit (et je ne sais pas où tu as été pêché ça dans ce que j'ai dit). Je ne dis bien évidemment pas d'une fonction dont la limite est égale à 0 (pente nulle), que cette limite est infiniment petite (ce qui ne veut bien évidemment rien dire).

Autre chose : il y a un tas d'imprécisions dans le langage mathématique dont on se contente (par exemple, la 1ère qui me vient à l'esprit : on a la même notation pour l'angle que pour la mesure de cet angle).

Enfin bref.

[JaCQZz]

.. pour l'homme de la rue, le lycéen, et les gens comme moi qui n'ont qu'un niveau Capes en mathématiques, l'infiniment petit et l'infiniment grand ont une signification : aussi petit que l'on veut, aussi grand que l'on veut. Ceci une REALITE. [...]

Parce que pour l'homme de la rue, le contraire de l'infini, c'est fini, et que pour lui, les nombres ne sont pas "finis", il n'y en a pas un plus grand et un plus petit, donc ils sont "infinis".

C'est une contradiction. Les nombres sont par défaut finis, même pour un tout-venant, non intuitif, en Maths !

Qu'est ce qu'un nombre fini et un nombre infini ? Un nombre est par nature : fini. Sinon, ce n'est pas un nombre. L'infini n'existe qu'en tant que limite (revoir à cet égard, l'enseignement qu'on dispense aux élèves de seconde).

L'atelier sur les nombres infinis montre que l'on peut mettre en relief les "nombres infinis décimaux", dont la lecture se fera et normalement : de gauche à droite, et chez qui, l'écriture décimale comportera une infinité de chiffres après la virgule : 0,123123123..., par exemple. Or, un entier, qui a la particularité de se lire, de droite à gauche, avec une infinité de chiffres vers la gauche est aussi infini. Certains de ces nombres auront une période.

[JaCQZz]

Ce n'est pas en supprimant le mot "crime", qu'on va supprimer le crime. PS : pour mettre encore un peu d'huile sur le feu, je lis encore dans le Dixmier :"Rappelons que f(x) est dit un infiniment petit quand x-> xo, si f(x) ->0 quand x->xo".

au regard de cette assertion :

- le dx de l'intégrale est infiniment petit, sauf dans le cadre d'une explication intuitive de Riemann.

PS : En réalité, le: dx n'est ni un nombre ni une fonction dans l'intégrale de Riemann. C'est une simple notation.
Pour aller plus loin que l'intégrale de Riemann : dans l'intégrale de Lebesgue, le : dx représentera la mesure de Lebesgue, notée plutôt dλ, ou λ(dx), le dx étant à nouveau là pour signifier par rapport à quelle variable intégrer. En géométrie différentielle, f(x)dx représentera aussi une forme différentielle (de degré 1), qu'on peut intégrer.

[Pseuda]

C'est une contradiction. Les nombres sont par défaut finis, même pour un tout-venant, non intuitif, en Maths !

Qu'est ce qu'un nombre fini et un nombre infini ? Un nombre est par nature : fini. Sinon, ce n'est pas un nombre. L'infini n'existe qu'en tant que limite (revoir à cet égard, l'enseignement qu'on dispense aux élèves de seconde).

L'atelier sur les nombres infinis montre que l'on peut mettre en relief les "nombres infinis décimaux", dont la lecture se fera et normalement : de gauche à droite, et chez qui, l'écriture décimale comportera une infinité de chiffres après la virgule : 0,123123123..., par exemple. Or, un entier, qui a la particularité de se lire, de droite à gauche, avec une infinité de chiffres vers la gauche est aussi infini. Certains de ces nombres auront une période.

Je me suis mal exprimée. Ce que j'ai écrit plus haut, ce n'est bien évidemment pas la question qu'un nombre soit fini ou infini, on est bien tous d'accord là-dessus (un nombre infini, qu'est-ce que cela pourrait bien vouloir dire ?). C'est la question que les nombres sont en nombre fini ou infini.

Pour illustrer mon propos, voici un exemple du même genre que cette discussion sur l'infiniment petit.

Il est dit dans les livres de maths (de la 3ème à la TeES, TeS non compris), que l'équation x² = -1 n'a pas de solution (si delta=0, il n'y a pas de solution) . On ne précise pas toujours dans R (ils savent à peine ce que cela veut dire). Est-ce que c'est faux pour autant ? Je ne dirai pas ça (contrairement à Ben314), je dirai que c'est vrai, jusqu'à temps qu'on aborde les nombres complexes, et dès lors il faut préciser à quel ensemble on se réfère.

A mon avis, mais ce n'est que mon avis, de dire à des élèves de 3ème jusqu'en 1eS qu'il y a des solutions à cet équation dans un autre ensemble qu'ils sont loin d'imaginer, ne peut que les embrouiller (comme ici de dire que l'infiniment petit n'existe pas en mathématiques). Ils ont déjà du mal à comprendre pour certains pourquoi l'équation x²=-1 n'a pas de solution dans R.

Tout cela me paraît un problème de pédagogie, et d'enfoncer des portes ouvertes.