Relation d'ordre

[maxnihilist]

Bonjour,

J'ai une question sur la définition dans un cours (c'est en anglais, je traduis donc au mieux).

On considère l'ensemble A tel que A = 2^B où B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} et l'on propose l'ordre suivant sur A définit par : "a<b si et seulement si a est inclus dans b, autrement dit, si a est un sous-ensemble de b". La relation < est-elle une relation d'ordre au sens strict ?

Définition: Une relation d'ordre stricte sur un ensemble A est une relation "<" entre paires d'éléments de A telle que pour tout x, y appartenant à A, l'ordre est :
- trichotome: on a exactement 3 sub-divisions : x < y, y<x et y=x
- transitif: x<y, y<z => x<z

Je ne vois pas trop comment rédiger, peut-on simplement écrire la chose suivante :
Pour tout a inclus dans b, on a : a < b, a = b
en ce qui concerne b < a, a étant un sous-ensemble de b, il est difficile de vérifier cette propriété ?

D'avance merci

[Ben314]

Salut,
Une première remarque, fait attention vu que les définitions anglo-saxonnes et française de la notion de "relation d'ordre" sont différentes : pour un anglo-saxon, c'est < (strict) qui est une relation d'ordre sur R alors que pour un français, c'est <= (inférieur ou égal) qui est une relation d'ordre sur R.

Sinon, concernant ton exo, pense tu que la relation "est inclus dans" est "trichotomique" (pour reprendre l'expression de ton texte) ?

[maxnihilist]

Re,
Merci pour les précisions concernant les nuances anglais/français.

Pour ta question je dirais que non vu que si a est inclus dans b par exemple, On a<b , a=b mais on ne peut avoir a>b ?

[Ben314]

Non, ce n'est pas ça qu'il faut dire, mais ça provient éventuellement du fait que tu ne comprend pas le terme de "trichotomie".

Ton truc il dit que, pour que ta relation < soit une "relation d'ordre stricte" (au sens anglo-saxon du terme), il faut que, quelque soient les élément a et b de ton ensemble, une et une seule des 3 propositions a<b ; a=b ; b<a soit vraie.

Est-ce le cas pour la relation "inclus", c'est à dire étant donné 2 ensembles quelconques A et B a-t-on forcément une et une seule des 3 propositions ; ; qui est vraie ?
(et à mon avis le "inclus", il est aussi à prendre "à l'anglo-saxonne", c'est à dire en terme d'inclusion stricte)

[maxnihilist]

Est-ce le cas pour la relation "inclus", c'est à dire étant donné 2 ensembles quelconques A et B a-t-on forcément une et une seule des 3 propositions ; ; qui est vraie ?

Pas forcément, on peut très bien avoir deux ensembles quelconques qui n'ont rien en commun, du coup ni l'un ni l'autre n'est inclus dans l'un, ni même égal à l'autre ?

[Ben314]

Oui, a mon avis, c'est ça qu'il faut répondre. (et en français, c'est plus ou moins ce qu'on appelle une "relation d'ordre totale)

[Ben314]

Bon, je viens d'aller voir sur la page anglaise de Wiki pour voire les définition qu'il y avait du terme "relation d'ordre", et en fait... c'est les même que nous (à savoir réflexif, symétrique, transitif) alors qu'il me semblait avoir entendu que c'était pas les mêmes.

Enfin bref, je sais pas trop d'où sort la définition que tu as mis dans ton premier post (sur laquelle je me suis basé pour te répondre) donc vérifie bien que tu as traduit ton truc correctement.

[maxnihilist]

Bon, le mieux est de poster le sujet:
An order (strict total order) on the set A is a relation, < between pairs of elements in A, such that for all x, y A the order is :
- trichotomous: Exactly one of x < y, y < x, and y = x holds
- transitive: x < y and y < z => x < z

Consider the set A = 2^B where B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, and the "proposed" order on A defined by a < b if and only if , that is a is a subset of b. Is the relation < a strict total order as defined above?

[Ben314]

Donc non, il n'y a pas d'ambiguïté, c'est bien ce que tu disait et la relation en question n'est pas un "strict total order".

Le seul truc que tu avait oublié dans ton premier post est le mot "total" qui est assez important : il y a aussi une définition de ce qu'est un ordre "non total" et justement, la relation "est inclus dans" est une relation d'ordre non totale.

[maxnihilist]

Merci.
Alors attend, résumons :
Pour deux ensembles quelconque il n'est pas possible d'affirmer que soit l'un est inclus dans l'autre (ou vice versa), soit l'un est égal à l'autre.

Mais je ne vois comment on peut s'arrêter là. Il est précisé que a et b ne sont pas quelconques justement, a est inclus dans b.
Quelque chose m'échappe ...

[Ben314]

Ta définition, elle dit que, pour que < soit un "strict total order" sur A, il faut que, quelque soient les élément a,b de A on ait blablabla.

Or tu vient de montrer qu'il existait des éléments a,b de A tel que blablabla soit faux.
Donc c'est fini : ce n'est pas un "strict total order".

Si ça t'amuse, tu peut vérifier que la deuxième condition (transitivité) est bien remplie, mais ça ne change rien à la réponse : vu que la première condition n'est pas remplie, c'est pas bon.

[maxnihilist]

Hm je vois.
Je pensais qu'on ne pouvait pas s'arrêter là justement parce qu'on ne prenait pas un a et b quelconque. On a choisi justement a inclus dans b.
Mais effectivement, si on suit à la lettre la définition (le bout en gras dans ton message), on peut déjà s'arrêter.

Merci à toi