s'il vous plait les amis, je séche sur un DL de maths je vais écrire l'énoncé du problème si quelqu'un a une idée pour les démonstrations ça sera gentil.
Problème 1:
Un ensemble ordonné est di bien ordonné si toute partie non vide de E admet un plus petit élément (comme dans , mais dans tout élément admet un prédécesseur, ce qu'on ne suppose pas ici).
Soit un ensemble ordonné. On utilise la notation < pour et < pour l'ordre strict associé. Si est un élément de E on pose ={ de , y < }. On dit qu'une partie P de E est un segment initial si :
quelque soit de , quelque soit de , < implique de .
Dans la suite on suppose bien ordonné.
1. Montrer que est un ordre total, et que la restriction de à toute partie de E est un ordre total.
2. Montrer que les segments initiaux sont les où x de , dits segments initiaux stricts (car n'est pas de ), et E.
3. Montrer que si et sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une bijection croissante entre et (on justifiera que la réciproque est aussi croissante), alors x=y, et la bijection est l'identité.
4. Soit et bien ordonnés.
a- On dit que la relation [font=Verdana]entre x dans[/font] E et x' dans E' par ;)[font=Verdana]x' si et seulement si est isomorphe à muni de la restriction de R'[/font]
Montrer que est une relation fonctionnelle ainsi que sa réciproque (entre E' et E)
b- Montrer que le domaine de est un segment initial S de (E,R) et de que de même le domaine de la relation réciproque est un segment initial S' de (E',R').
c- Montrer que est un isomorphisme entre les ensembles ordonnés S et S'
d- En déduire que ou bien S=E ou bien S'=E', donc que si (E,R) et (E',R') sont bien ordonnés, ou bien il existe une injection croissante de E dans E', ou bien il existe une injection croissante de E' dans E.
Merci pour votre aide