Extremum

[CalvinFal]

Bonjour j'aimerais de l'aide pour cette exercice svp

g est la fonction définie sur R par : g(x)= 3 +(1-x)/x²+1 . Soit Cf sa courbe représentative dans un repère .
1°) Justifier que la fonction g est définie sur R
2°) Démontrer que : Pour tout x réel on a : g'(x) = x²-2x-1/(x²+1)²
3°) Etablir le tableau des variations de g. Préciser les extremums locaux de g .
4°) Donner l’équation de la tangente (T) à Cg au point de Cg d’abscisse 1.

1) g est défini sur R car x²+1 > 0
2)J'ai essayé de trouver la dérivé de g(x) mais pour le numérateur je trouve x²+1-2x+2x²
3 et 4 je bloque beaucoup

[Sake]

Salut,

Ton écriture ne veut sans doute pas signifier ce que tu voulais dire... Sans doute est-ce (x² - 2x - 1)/(x² + 1)² ?

C'est facile, applique la formule de dérivation des quotients de fonctions dérivables et dis-nous ce que tu trouves.

[annick]

Bonjour, tu as fait une erreur de signe pour le début de ta dérivée, il manque un signe - pour les deux premiers termes.

En effet :

u=1-x u'=-1
v=x²+1 v'=2x

[CalvinFal]

Salut Sake oui c'est ça merci beaucoup

Bonjour annick Ah oui désoler je me suis trompé de signe merci beaucoup . Et pour la question 2 il faut faire que ça ?

[CalvinFal]

Sake je trouve g'(x)=(x² - 2x - 1)/(x² + 1)² comme dans l'énoncer

[annick]

Ta dérivée est juste, il faut maintenant que tu étudies son signe, c'est-à-dire le signe de x² - 2x - 1 pour connaître les variations de la fonction et les extrêmums.

[CalvinFal]

Comme c'est un polynôme du second degrés il faut que je trouve les racines puis faire le tableau de signe et le tableau de variation c'est bien ça ?

[annick]

C'est cela.

[CalvinFal]

Merci je fini l’exercice et je vous montrerais mais résultat

[lucassss]

g est un quotient et somme de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR:
Vx€IR, g(x)=3+[1-x]/[x^2+1]
g'(x)=0+(u'v-uv')/v^2

u=1-x v=x^2+1
u'=-1 v'=2x
g'(x)=(-x^2-1-2x+2x^2)/(x^2+1)^2
=(x^2-2x-1)/(x^2+1)^2

3)tableau de variations:

signe de g'(x): dénominateur toujours positif,
numérateur: trouvons le discriminent: delta= b^2-4ac= (-2)^2-4*1*(-1)=4+4=8; delta>0 donc deux solutions,
x1=(-b+racinedelta)/(2a)
x2=(-b-racinedelta)/(2a)

tableau: x -inf x2 x1 +inf
num + 0 - 0 +
dén +
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) flèche croissante décroissante croissante

ensuite, faites les limites aux extrémités:
lim g(x) et lim g(x)
x->-inf x->+inf

calculez g(x1) et g(x2) et placez les dans le tableau

4)l'équation de la tangente :

T: y= f'(a)(x-a)+f(a)
y= g'(1)(x-1)+f(1) ensuite remplacez avec vos résultats précédents et voilà!

[CalvinFal]

Bonjour Lucassss merci j'ai trouvé la même chose

[CalvinFal]

Par contre pour les x1 et x2 je laisse comme ça ?

[annick]

@ lucassss : il était en train de chercher, pourquoi lui donner toute la solution toute faite ?
Si tu veux aider, tu mets les élèves sur la voie, mais tu ne fais pas tout à leur place.
Le propos n'est pas de savoir si toi tu sais faire, mais de les aider à comprendre pour qu'ils sachent faire par eux-même la fois suivante. Ceci s'appelle la pédagogie.

[CalvinFal]

Non mais annick j'avais déjà fini l'exercice et quand j'me suis connecté pour poster mes réponses y'avait ça ... mais t'inquiète pas j'ai fait mon exercice par moi même et avec votre mais sans les réponses de lucassss

[CalvinFal]

Par comme je disais ci-dessus pour calculer les extremum avec x1 et x2 c'est vraiment compliqué j'ai essayé de réduire x1 et x2 mais j'ai pas réussit

[annick]

Si je ne me trompe, delta=8, donc x1=1-V2 et x2=1+V2, ce qui se simplifie assez bien si tu remplaces dans f(x), en laissant le dénominateur au carré.

[CalvinFal]

Oui en faite je me suis trompé pour 2a j'ai mis -4 merci quand même

[Med-Med]

pour étudier les extremum, faut voir avec la 2eme dérivée.

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