J'ai bien une méthode, mais c'est super bourrin....
Comme le truc à minorer est invariant par multiplication de a,b,c par une même constante, on peut supposer sans perte de généralité que a+b+c=1 et il faut donc minorer f(a)+f(b)+f(c) où
.
Si on fixe
et qu'on cherche le minimum de f(a)+f(b) pour a+b=1-c, cela revient à chercher le minimum de g(x)=f(x)+f(s-x) sur [0,s] (où s=1-c).
Or
avec
donc
.
Or
est négatif en x=0 puis change de signe
- soit une seule fois en
, donc g est croissante puis décroissante donc son minimum est en x=0 et en x=s (on a évidement
)
- soit trois fois en
;
et
donc f est croissante-décroissante-croissante-décroissante et son minimum est soit en x=0 (équivalent à x=s), soit en x=s/2.
Cela signifie que, si on s'autorise les valeurs les valeurs "limites" a=0 ou b=0 ou c=0, le minimum est à rechercher parmi parmi les triplets (1/3,1/3,1/3) ; (1/2,1/2,0) ; (1,0,0) et celui qui donne la plus petite valeur est (1/2,1/2,0) qui donne 2.
EDIT : Et avec une méthode de types gradient, tu risque fortement de te gourer vu que le minimum est atteint
au bord du domaine...