Calcul de polynôme caractéristique d'une matrice complexe

[Gyouji23]

Bonjour,

Après avoir calculé le polynôme caractériqtique d'une matrice complexe, je trouve
, ce qui est juste selon le corrigé
Je réécris mon polynôme comme cela pour qu'il soit scindé:
. Ici le corrigé dit
C'est là ma première question, comment trouver ce résultat?

Je me dis donc que les valeurs propres sont 1 (de multiplicité algébrique 3) et -1 (de multiplicité algébrique 1) dans les 2 cas (le polynôme que j'ai trouvé et celui du corrigé)

Mais le problème, c'est que la réponse c'est que les valeurs propres sont i, -i et 1

Je vois biens que ces valeurs propres sont celles de mon polynôme lorsqu'il n'est pas scindé (1ère forme du polynôme), est-ce que cela veut dire que je ne peut pas trouver les bonnes valeurs propres lorsqu'il est scindé? Qu'est-ce que je n'ai pas compris?


Merci infiniment de votre aide

[Ben314]

Salut,
ça pourrait éventuellement (sic) provenir du fait que t²+1 n'est absolument pas égal à (t+1)(t-1)

[Gyouji23]

Salut,
ça pourrait éventuellement (sic) provenir du fait que t²+1 n'est absolument pas égal à (t+1)(t-1)

évidemment (t+1) n'est pas égal à (t+1)(t-1), mais j'ai réécris

comme pour ensuite écrire

Est-ce que c'est faux?

[Ben314]

C'est... encore pire que ce que je pensait...

On va donc changer en disant que ton erreur pourrait éventuellement (sic) provenir du fait que t²+1 n'est absolument pas égal à t²-1 (ni à -(t²-1) d'ailleurs...)
Par contre, (1-t)² est effectivement égal à (t-1)²

Enfin, bref, la seule factorisation de t²+1 c'est (t+i)(t-i) (dans C) et tu risque pas de le factoriser sous la forme (t-a)(t-b) avec a et b réels vu qu'il est clair que t²+1 ne s'annule pas sur R.
Et c'est surement pas en prenant son opposé (qui est -t²-1 et pas autre chose...) que ça va changer quoi que ce soit à l'affaire vu que de factoriser un polynôme P ou son opposé -P, c'est évidement la même chose...

BILAN : ton polynôme caractéristique, c'est (t-1)²(t-i)(t+i) et il a pour racines 1,i et -i.

[Gyouji23]

Merci beaucoup, c'est vraiment ça qui m'échappais, désolé pour la question idiote et merci vraiment d'avoir pris la peine de me répondre si bien