équation trigonométrique à 3 inconnues

[(PiR)²]

Bien le bonjour,

Mon problème est hors programme scolaire. Je le pose dans la catégorie Lycée car c'est là que je me suis arrêté (bac S en 2002, ça fait loin). Merci de le déplacer si vous jugez qu'il est plus à sa place dans une autre catégorie.

Voici le contexte, mais je pense que mon problème se résume au système d'équations à la fin du message.

Sur After Effects (logiciel d'effets spéciaux), pour orienter et faire tourner un objet, on peut lui appliquer les 6 rotations successives : rotation Z (Rz), rotation Y (Ry), rotation X (Rx), orientation Z (Oz), orientation Y (Oy) et orientation X (Ox).
Pour réaliser mon effet, je veux obtenir la même transformation globale en utilisant des paramètres de rotation différents. C'est-à-dire que pour une transformation globale obtenue à partir des rotations Ox1, Oy1, Oz1, Rx1, Ry1 et Rz1, je définis 3 nouvelles rotations Rx2, Ry2 et Rz2 et je cherche Ox2, Oy2 et Oz2 pour que ma transformation globale soit identique à la première obtenue.

La méthode que j'ai trouvée (mais de laquelle je n'arrive pas au bout) consiste à définir 3 points non alignés (par exemple A0(1;0;0), B0(0;1;0) et C0(0;0;1)) et à calculer les coordonnées de leurs images via les rotations successives.
Toutes les rotations ont le même centre O(0;0;0).
Pour un point P0(x0;y0;z0) quelconque, on a :
P0 --> rotation Rz --> P1(x1;y1;z1) --> rotation Ry --> P2(x2;y2;z2) --> etc. --> P6 (x6;y6;z6)

x1 = x0*cosRz - y0*sinRz
y1 = y0*cosRz + x0*sinRz
z1 = z0

x2 = x1*cosRy + z1*sinRy
donc x2 = (x0*cosRz - y0*sinRz)*cosRy + z0*sinRy
y2 = y1 = y0*cosRz + x0*sinRz
z2 = z1*cosRy - x1*sinRy
donc z2 = z0*cosRy - (x0*cosRz - y0*sinRz)*sinRy

x3 = x2 = (x0*cosRz - y0*sinRz)*cosRy + z0*sinRy
y3 = y2*cosRx - z2*sinRx
donc y3 = (y0*cosRz + x0*sinRz)*cosRx - [z0*cosRy - (x0*cosRz - y0*sinRz)*sinRy]*sinRx
z3 = z2*cosRx + y2*sinRx
donc z3 = [z0*cosRy - (x0*cosRz - y0*sinRz)*sinRy]*cosRx + (y0*cosRz + x0*sinRz)*sinRx

Pour calculer les coordonnées de P6 à partir de celles de P3, on utilise la même formule en changeant les variables. C'est-à-dire :

x6 = (x3*cosOz - y3*sinOz)*cosOy + z3*sinOy
y6 = (y3*cosOz + x3*sinOz)*cosOx - [z3*cosOy - (x3*cosOz - y3*sinOz)*sinOy]*sinOx
z6 = [z3*cosOy - (x3*cosOz - y3*sinOz)*sinOy]*cosOx + (y3*cosOz + x3*sinOz)*sinOx

Toutes ces équations fonctionnent, je les ai vérifiées via After Effects.

Ainsi, je peux calculer les coordonnées de mes points A6(xa6;ya6;za6), B6(xb6;yb6;zb6) et C6(xc6;yc6;zc6) à partir de A0(xa0;ya0;za0), B0(xb0;yb0;zb0), C0(xc0;yc0;zc0), Ox1, Oy1, Oz1, Rx1, Ry1 et Rz1.
Ensuite je définis les nouvelles rotations Rx2, Ry2 et Rz2 desquelles je peux calculer les coordonnées de A3'(xa3;ya3;za3), B3'(xb3;yb3;zb3) et C3'(xc3;yc3;zc3).
Les orientations Ox2, Oy2 et Oz2 que je cherche sont donc définies par le système suivant :

xa6 = (xa3*cosOz - ya3*sinOz)*cosOy + za3*sinOy
ya6 = (ya3*cosOz + xa3*sinOz)*cosOx - [za3*cosOy - (xa3*cosOz - ya3*sinOz)*sinOy]*sinOx
za6 = [za3*cosOy - (xa3*cosOz - ya3*sinOz)*sinOy]*cosOx + (ya3*cosOz + xa3*sinOz)*sinOx

xb6 = (xb3*cosOz - yb3*sinOz)*cosOy + zb3*sinOy
yb6 = (yb3*cosOz + xb3*sinOz)*cosOx - [zb3*cosOy - (xb3*cosOz - yb3*sinOz)*sinOy]*sinOx
zb6 = [zb3*cosOy - (xb3*cosOz - yb3*sinOz)*sinOy]*cosOx + (yb3*cosOz + xb3*sinOz)*sinOx

xc6 = (xc3*cosOz - yc3*sinOz)*cosOy + zc3*sinOy
yc6 = (yc3*cosOz + xc3*sinOz)*cosOx - [zc3*cosOy - (xc3*cosOz - yc3*sinOz)*sinOy]*sinOx
zc6 = [zc3*cosOy - (xc3*cosOz - yc3*sinOz)*sinOy]*cosOx + (yc3*cosOz + xc3*sinOz)*sinOx

Je connais xa6, ya6, za6, xb6, yb6, zb6, xc6, yc6, zc6, xa3, ya3, za3, xb3, yb3, zb3, xc3, yc3 et zc3.
Je cherche Ox, Oy et Oz.

Je bloque sur la résolution de ce système. Est-il résoluble ? Existe-t-il une méthode plus simple ?

Merci d'avance pour votre aide, en espérant avoir été suffisamment clair.

Pierre

[(PiR)²]

Problème résolu ici grâce aux matrices : http://www.maths-forum.com/superieur/recherche-des-angles-une-rotation-dans-espace-t170773.html