EDP

[Dylaa2n]

Bonjour,

J'ai un peu de mal à répondre à un vrai ou faux traitant de l'EDP suivante : avec et en milieu infini, t positif et u qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

On me pose les questions suivantes (vrai ou faux) : https://dl.dropboxusercontent.com/u/106708128/Capture%20d%E2%80%99%C3%A9cran%202016-01-11%20%C3%A0%2021.16.20.png

Pour la question a, je ne vois pas quoi/comment répondre.
Pour la question b, je pense qu'étant donné que nous sommes en milieu infini, le problème est tout le temps bien posé.
Pour la question c, je dirais que nous ne pouvons que travailler avec des t positifs vu qu'il s'agit du temps, mais sans aucune certitude.
Pour la question d, j'arrive à prouver que l'intégrale est conservée en démontrant que dI/dt = 0 mais je me demande, si maintenant nous avions la même question mais avec un u^2 à la place du u, qu'est-ce que cela change? Parce que dans ce cas-là, cela complique l'expression et je ne vois pas comment le prouver mathématiquement.

Merci pour votre aide

[Sake]

Pour la question a), ça ne s'invente pas ! La réponse est "vrai".

Il faut un peu d'habitude pour voir que le terme n'est autre que (et donc l'advection du champ u par la vitesse c), et que le terme s'écrit également . Ce dernier termes est un terme diffusif, que l'on écrit aussi pour peu que soit constant dans tout l'espace. On remarque directement le caractère diffusif de cette équation (voir équation de diffusion, si tu n'es pas convaincu).

Le premier terme, quant à lui, indique le comportement transitoire du champ u : Il évolue par l'effet conjugué d'un transport advectif et d'une diffusion dans le milieu.

[Sake]

(b) Tu disposes d'une EDP d'ordre 1 en temps et d'ordre 2 en espace. Ici, on te donne une condition initiale... Tu penses pas qu'il te manque autre chose ?

(c) Que devient l'EDP pour t < 0 ?