Algébre linéaire, somme de sev

[David.SP]

Bonjour.

J'ai un petit probléme pour démontrer une implication:

Soit f, g, fonctions linéaire de E dans E.
Si Im(f) + Img(g) = Ker(f) + Ker(g) = E alors la somme est directe.

J'ai essayé de commencer par la somme des Ker soit f(x) = g(x) = 0 et remplacer les x par des image de f et g mais ça ne marche pas ...

Merci!

[tize]

Est-ce que c'est en dimension fini ...?

Si dim(E) = n alors
dim(Im(f) + Im(g)) = dim(Ker(f) + Ker(g)) <= dim(Ker(f)) + dim(Ker(g))
________________= dim(E) = n_________<= 2n - dim(Im(f)) - dim(Im(g))___(th rang)

Donc dim(Im(f)) + dim(Im(g)) <= n
mais
n= dim(Im(f) + Im(g)) = dim(Im(f)) + dim(Im(g)) - dim( Im(f)nIm(g) )
donc
dim( Im(f)nIm(g) ) = 0
donc Im(f)nIm(g) = 0

de la même manière je pense pour Ker(f) + Ker(g)
Sans garantir que ce soit la manière la plus rapide...

[David.SP]

Merci pour ta réponse, je n'ai même pas penser de passer par le théoréme du rang ...
Et effectivement, on se place dans un cas de dimension finie.

Merci!