Exercice sur les suites

[ayarajaayassmine]

1- montrer que
2- Montrer que Un est strictement croissante
3- Montrer que :
déduire

[Carpate]

1- montrer que
2- Montrer que Un est strictement croissante
3- Montrer que :
déduire

Bonjour,
L'indication de ce que tu as fait ne ferait pas de mal
Je suppose que la suite est
1) le montrer par récurrence
2) qui est du signe du trinôme du second degré : lequel est positif "entre ses racines" : -1 et 4 donc positif strict d'après la question 1)

[ayarajaayassmine]

Bonjour et merci
C'est surtout les 2 dernières questions qui me posent pb.
Montrer que :

et déduire :

[Carpate]

Je ne comprends pas pourquoi cet énoncé est si calculatoire pour montrer que (U_n) admet 4 pour limite
On a montré que (U_n) est croissante et majorée (par 4)
Elle admet donc une limite l (positive)
Au passage à la limite (n --> infini),

l est la racine positive de soit

[nodgim]

Tout à fait Carpate, mais l'énoncé est ainsi fait qu'il ne fait pas le raccourci par le calcul direct de la limite. Il fait découvrir la limite d'une autre façon.

[Carpate]

Suite du feuilleton ...
(x par quantité conjuguée)
Pour rester fidèle à l'énoncé il faudrait montrer que
Mais ce n'est pas très facile.
Par contre montrer que est presque immédiat et suffisant pour la question suivante :







Inégalité que l'on écrit pour n = 1 à n :

soit
...........................

Quand et

[nodgim]

Hum...C'est bien compliqué tout ça....

[Carpate]

Hum...C'est bien compliqué tout ça....

Et que proposes-tu de plus simple ?

[Ben314]

Je ne comprends pas pourquoi cet énoncé est si calculatoire pour montrer que (U_n) admet 4 pour limite

On peut quand même répondre que l'inégalité demandée montre non seulement que la limite est 4, mais donne aussi une idée de la vitesse de convergence.
Par exemple, ça permettrait de répondre à des question (archi. classique) du style "donner une valeur de n telle que Un soit proche de la limite à 10^-3 prés".

[nodgim]

Le 3) demande de vérifier que 4-U(n+1)<=1/2(4-Un)
4-V(3Un+4)<=(4-Un)/2
4-(4-Un)/2<=V(3Un+4)
(4+Un)/2<=V(3Un+4)
4+Un<=2V(3Un+4) avec Un > 0
(4+Un)² <= 4(3Un+4)
16+8Un+Un² <= 12Un+16
Un²-4Un <= 0
Un (Un-4) <= 0
Or 0 < Un < 4 a été démontré, donc l'inégalité est vérifiée.

[Ben314]

Sinon,


EDIT : Nodgim a été plus rapide (mais c'est moins peaufiné... )

[Pseuda]

[/code]

Suite du feuilleton ...
(x par quantité conjuguée)
Pour rester fidèle à l'énoncé il faudrait montrer que
Mais ce n'est pas très facile.

Et bien, utiliser : pour tout n, 0 , donc , etc...

[Carpate]

Oui, merci PSEUDA, ça me crevait les yeux !
Je reprends donc la démo :
(x par quantité conjuguée)