Factorisation 3ème degré

[Fidio]

bonjour je cherche la solution d'une factorisation
Dans mon exercice il donne pour aider que:x^3-3x-2=(x-2)(x^2+2x+1)
j'aimerai trouver moi même comment ils ont trouvé cette factorisation mais je n'y arrive pas
quelqu'un arrive a trouver la solution si oui quel est t'elle ?

[zygomatique]

salut

tout simplement parce que l'auteur connaît la réponse et sait que tu ne peux pas le faire sans cette aide ...

et ensuite parce que 2^3 - 3 * 2 - 2 = 0

....

[Fidio]

et comment l'auteur a t'il trouvé cette solution c'est cela qui m'intéresse

[WillyCagnes]

bjr

x^3-3x-2

astuce à connaitre pour trouver des racines évidentes
1) tu additionnes les coef du polynome si=0 alors (x-1) en facteur

pas le cas pour ta fonction car
ici:1 de x^3 ; -3 de x et -2 soit -4 =0

2) pense à donner des valeurs simples comme 1,2,3,-1,-2,-3
ici x= +2
2^3 -3(2) -2 = 0 donc f(2)=0 donc on (x-2) en facteur

[zygomatique]

et comment l'auteur a t'il trouvé cette solution c'est cela qui m'intéresse

parce qu'il a développé (x - 2)(x^2 + 2x + 1) ..... :ptdr:

[laetidom]

WillyCagnes bjr

x^3-3x-2

astuce à connaitre pour trouver des racines évidentes
1) tu additionnes les coef :1 de x^3 ; -3 de x et -2
si =0 alors racine =1 donc (x-1) en facteur

Bonjour Willy,

avec ton astuce, on trouve 1-3-2 = - 4 ==> comment obtiens-t 'on la racine de 2 ?...merci d'avance !

[MABYA]

J'y vais de mon explication
Quand les coefficients sont voisins comme ici, on va à la chasse de racines apparentes
on essaye f(1), f(2), f(-1) pour que ce f(n) = 0,e n allant jusqu'à 5 peut être 7
f(2)=8-6-2 =0 .
X³-3X-2 = 0 à une racine apparente 2 donc tu peux mettre (x-2) en facteur
Tu effectues la division de polynômes X³-3X-2 par (x-2) et tu vas trouver X²+2X+1.
il ne te reste plus qu'à résoudre ce dernier, encore une racine apparente x'= -1
pour l'autre racine tu fais le c/a (de ax²+bx+c), ici c/a= -1.x" d'ou tu tires x" et tu vas avoir la décomposition totale (x-2)(x-1) (x-x").
Bon comme c'est le jour de l'an disons qu'ici X²+2X+1 à une racine double x'=x""=-1
Si toutes les équations du 3ème degré étaient comme celle ci !

[laetidom]

Merci MABYA pour toutes ces précisions utiles pour Fidio je pense, quant à moi je pensais qu'il y avait dans les écrits de Willy une astuce pour trouver directement LA racine évidente (sans les passer une à une (...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...) au hasard), c'était le sens de mon post, le reste est ok pour moi, merci tout de même et bonne année à tous !

[Sa Majesté]

Trouver les racines rationnelles de type avec p et q étrangers.







p divise le 1er membre donc le 2ème membre, donc 2 (puisque p et q étrangers), donc p=1 ou 2



q divise le 2ème membre donc le 1er membre, donc 1 donc q=1

Conclusion : les seules racines rationnelles possibles sont +/-2 et +/-1

[laetidom]

Trouver les racines rationnelles de type avec p et q étrangers.







p divise le 1er membre donc le 2ème membre, donc 2 (puisque p et q étrangers), donc p=1 ou 2



q divise le 2ème membre donc le 1er membre, donc 1 donc q=1

Conclusion : les seules racines rationnelles possibles sont +/-2 et +/-1

Merci Sa Majesté pour cette réponse de qualité mais serait-il possible que tu développes plus ton propos par rapport à ces 2 phrases ? :

p divise (pourquoi ?) le 1er membre donc le 2ème membre, donc 2 (puisque p et q étrangers), donc p=1 ou 2.....?

q divise le 2ème membre (pourquoi ?) donc le 1er membre, donc 1 donc q=1...?

Excuses-moi de n'avoir pas tout compris d'un seul jet !?....MERCI d'avance !
.

[Sa Majesté]

p divise le 1er membre car il est en facteur du 1er membre : p(p²-3q²)
p divise le 2ème membre car il divise le 1er membre et que le 2ème membre est égal au 1er membre
p divise donc 2q^3 mais comme p et q n'ont pas de facteurs communs (p/q est une fraction irréductible) alors p divise 2

[zygomatique]

il est dommage de ne pas avoir l'énoncé complet ....

mais je suis persuadé (au niveau lycée) que l'auteur a pris (probablement au hasard) ... puis l'a développé .... puis ...

:lol3:

[laetidom]

p divise le 1er membre car il est en facteur du 1er membre : p(p²-3q²)
p divise le 2ème membre car il divise le 1er membre et que le 2ème membre est égal au 1er membre
p divise donc 2q^3 mais comme p et q n'ont pas de facteurs communs (p/q est une fraction irréductible) alors p divise 2

Merci beaucoup pour ces bonnes informations complémentaires ! Bonne journée.

[Sa Majesté]

De rien :zen:
Pour la généralisation, voir le § Racine rationnelle du lien https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_%C3%A9vidente

[nodjim]

C'est sûr que c'est plus facile de créer un polynome à partir d'un produit de facteurs que de retrouver les racines quand on a le polynome sous les yeux.