Problème ouvert Suite Terminale S

[stilli]

Bonjour.

Notre professeur nous a posé un problème ouvert sur les suites et bien qu'ayant longtemps essayé de le résoudre, rien ne me vient.

Voici l'énoncé :
U0=4
U(n+1)=2*U(n) / (2-U(n))
Déterminer l'expression de U(n) en fonction de n.

Pourriez m'indiquez une voie à suivre, s'il vous plait. J'ai pensé à essayé de passer par une suite auxiliaire mais je ne sais comment trouver cette suite. Merci d'avance.

[WillyCagnes]

bsr

tu peux remplacer la suite decroissante

U(n+1)= -2 +4/(2-Un)

[chan79]

salut
u(0)=-4/(-1)
u(1)=-4/1
u(2)=-4/3
u(3)=-4/5

continue et fais une récurrence

[stilli]

bsr

tu peux remplacer la suite decroissante

U(n+1)= -2 +4/(2-Un)

Désolé mais je ne comprend pas ce que vous voulez dire.

[stilli]

salut
u(0)=-4/(-1)
u(1)=-4/1
u(2)=-4/3

continue et fais une récurrence

Sinon je peux aussi définir la suite auxiliaire v(n)=(-4)/(Un), prouvez que v(n) est arithmétique et trouvez la formule de u(n) en utilisant le terme général d'une suite arithmétique.

[stilli]

Merci beaucoup pour cette aide :we:

[chan79]

Sinon je peux aussi définir la suite auxiliaire v(n)=(-4)/(Un), prouvez que v(n) est arithmétique et trouvez la formule de u(n) en utilisant le terme général d'une suite arithmétique.

essaie de faire ce que je te propose si tu as vu le raisonnement par récurrence
L'expression de u(n) se devine après avoir calculé les premiers termes

[nodjim]

Oui, ou encore calculer 1/U(n+1) et les premiers termes.

[stilli]

essaie de faire ce que je te propose si tu as vu le raisonnement par récurrence
L'expression de u(n) se devine après avoir calculé les premiers termes

Je vais essayer ^^

[chan79]

Sinon je peux aussi définir la suite auxiliaire v(n)=(-4)/(Un), prouvez que v(n) est arithmétique et trouvez la formule de u(n) en utilisant le terme général d'une suite arithmétique.

tu peux le faire aussi

[Ben314]

J'ai pensé à essayé de passer par une suite auxiliaire mais je ne sais comment trouver cette suite. Merci d'avance.

Si tu est fort en calcul algébrique et que tu n'a pas peur des calculs un peu long, tu peut "poser" puis regarder quelle formule de réccurence vérifie la suite et en déduire quelles valeurs prendre pour de façon à ca qu'elle soit "simple", c'est à dire arithmétique ou géométrique.

C'est plus théorique et, évidement, c'est bien plus long que de calculer les 5 ou 6 premières valeurs de et de conjecturer le résultat.
En fait, cette méthode marcherais pour n'importe quelle suite vérifiant une relation de la forme , mais le "pourquoi" ça marche systématiquement est (de très loin) hors de porté d'un Lycéen.