J'ai un oral lundi matin sur les fonctions holomorphes (leçon d'agreg), mais j'ai un problème avec mes développements : je n'ai pas vraiment eu le choix pour mes développements (je n'ai pas assez de livres à ma disposition pour traiter certaines notions), et je n'ai pas trouvé mieux (j'ai pourtant parcouru mes livres du début à la fin) que le principe de réflexion de Schwarz (dans Rudin).
Problème : j'ai du mal à comprendre la preuve! J'ai regardé sur internet, toutes les preuves données utilisent le théorème de Morera, mais ça ne m'arrange pas du tout, étant donné la structure de mon plan...
A la place, on utilise la propriété de la valeur moyenne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe#Propri.C3.A9t.C3.A9_de_la_moyenne
Le théorème est le suivant : Supposons que L soit un segment de l'axe réel, que A+ soit un domaine (ie ouvert connexe) dans B={z=x+iy / y>0}, et que tout t dans L soit le centre d'un disque ouvert D_t tel que B "inter" D_t soit inclus dans A+.
On pose A-={conjugué de z / z est dans A+}.
Soit f=u+iv holomorphe dans A+ et supposons limv(z_n)=0 pour toute suite {z_n} dans A+ qui converge vers un point de L.
Alors il existe F holomorphe dans (A+ "union" L "union" A-) telle que F(z)=f(z) dans A+. F satisfait aussi F(conjugué de z)=conjugué de F(z) pour z dans (A+ "union" L "union" A-)
Preuve :
On pose W=(A+ "union" L "union" A-). On prolonge v à W par v(z)=0 si z est dans L et v(z)=-v(conjugué de z) si z est dans A-
Alors v est continue sur W, OK, et v a la propriété de la moyenne. Pourquoi?? Je sais que les fonctions holomorphes ont la propriété, mais ici v est holomorphe sur A+, vu la façon dont est définie son extension je suppose qu'elle l'est sur tout W, mais je ne suis pas sûre que ça soit évident...
On en déduit que v est harmonique sur W (théorème qui précède dans Rudin, OK).
Donc v est la partie imaginaire d'une fonction holomorphe, OK.
A chaque D_t correspond f_t holomorphe sur D_t telle que f_t=v. OK
Chaque f_t est déterminée par v à une constante additive réelle près Je suis pas sûre de comprendre, cette constante correspond à la partie réelle?! Pourquoi est-ce que ça serait une constante??
Si cette constante est choisie de sorte que f_t(z)=f(z) pour un z dans (D_t "inter" B), alors ceci sera encore vrai pour tout z dans (D_t "inter" B), puisque f-f_t est constante dans la région (D_t "inter" B). Pas compris... Pourquoi f-f_t est constante dans cette zone?
Nous supposons que les fonctions sont ainsi choisies.
Je mettrai la suite si j'arrive à comprendre le début déjà... C'est une preuve assez longue, et donc pas super à réécrire!
J'en suis au point de ne pas fêter le nouvel an et de passer mes journées à faire cette leçon...
Merci d'avance, et bonne année!