Petit Exo de noel.

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MouLou
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Petit Exo de noel.

par MouLou » 26 Déc 2015, 00:13

Salut et joyeux noel!

Car je vous aime bien je vous offre pour noel un petit exo dont j'ai une solution dont je ne suis pas très fier.

Montrer que si A et B sont sym définies positives, alors .



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Ben314
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par Ben314 » 26 Déc 2015, 01:35

Pour des matrices quelconques on a (trace)
B étant symétrique définie positive, avec P orthogonale et diagonale à valeur propres >0.
Comme la trace est invariante à changement de base prés,
Or est symétrique définie positive donc, si on a
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MouLou
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par MouLou » 26 Déc 2015, 01:45

Hmm oui c'est à peu de chose près ce que j'ai fait, sauf que j'ai plutot utilisé le théorème massue de pseudo reduction simultanée qui au final demande plus de travail avec le calcul de la trace que le simple théorème spectral sur une seule matrice... La dessus c deja plus convaincant que ma méthode!

Toujours est il que je n'aime pas trop cette preuve et je me demande s'il n'y a pas d'autres moyens plus jolis

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Ben314
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par Ben314 » 26 Déc 2015, 01:50

Je sais pas....
Il y a certains trucs super simple, par exemple tr(AB)=tr(BA), dont je connais pas de preuves "super jolies".
Tu fait comment toi pour démontrer tr(AB)=tr(BA) ?

Perso, je connais 2 preuves pas bien longues mais pas super satisfaisantes (à mon sens)
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MouLou
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par MouLou » 26 Déc 2015, 01:54

Je ne l'ai fait que par calcul direct... je vais en chercher une autre demain tiens!

Robot

par Robot » 26 Déc 2015, 11:20

Puisque est définie positive, elle a une unique racine carrée définie positive , et est semblable à , elle a donc même trace que cette dernière. Or est congruente à qui est définie positive.

MouLou
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par MouLou » 26 Déc 2015, 11:38

Pas mal! Merci!

Robot

par Robot » 26 Déc 2015, 11:54

C'est une astuce assez classique. On s'en sert habituellement (en supposant B seulement symétrique) pour montrer que AB a autant de valeurs propres positives (resp. négatives) que B.

 

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