Limite

[papino]

Salut, je suis bloqué sur un exercice depuis quelques heures maintenant :cry: :cry: besoin d'aide :lol3:
soit f:N----->N bijective, telle que lim f(n)/n=l (quand n tend vers plus l'infini)
Calculer l
indication: on pourra commencer par montrer que l est différent de 0

Merci d'avance

[MouLou]

Salut. As tu montré que l est différent de 0?

[aymanemaysae]

Une bijection de dans , n'est-elle pas une permutation de ?

[papino]

MouLou je n'y suis pas arrivé non plus...
Aymanemaysae je ne connais pas le terme "permutation" désolé :(

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop où ils veulent en venir avec leur .
Perso, j'aurais montré qu'il n'existe pas de fonction surjective telle que existe est soit >1.

P.S. Une "permutation", c'est une bijection, donc de dire qu'une bijection de N dans N, c'est une permutation, on peut pas dire que ça soit d'un grand intérêt stratégique..

[nodjim]

Je dis sûrement une bêtise, mais on a à la limite:
f(n)= l*n
f(n+1)= l*(n+1)
f(n+1)-f(n)= l
Ce qui implique l entier, et l=1 car pour toute autre valeur on perdrait la bijection N--->N.

[MouLou]

Intuitivement ca passe, pour le reste j'y crois pas trop.

En faisant l'exo et en suivant l'indication, le fait de montrer que la limite est non nulle n'apporte rien en soit, mais donne une bonne idée de la méthode en générale.

En gros j'ai montré par l'absurde que la limite est non nulle, sinon par définition de la limite avec j'arrive à pour tout assez grand. En travaillant un petit peu on montre que c'est absurde.

Mais en fait exactement la même méthode montre que la limite est (si l<1, alors pareil f(n)<n pour tout n assez grand etc etc).

Et de la même facon on montre que

[papino]

je vais réessayer ça Moulou... Nodjim je trouve que c'est assez bien vu ce que vous proposez et l=1 car sinon on risque soit de laisser les impairs soit les pairs
Ben314 vous l'auriez montré par l'absurde?

[aymanemaysae]

En m'aidant de ce que différents sites sur Internet ont voulu m'offrir comme indications, je crois que j'ai bien débuté cette solution, mais au cours du chemin je suis sûr que j'ai fait des erreurs de raisonnement: j'ai essayé d' y remédier, mais je n' y suis pas arrivé.

Je vous soumets cette esquisse de solution, en espérant que vous aurez la patience de la lire et de la commenter. Merci.

Soit A = {n / f(n) n}.

Supposons que A = , donc n : f(n) > n.
Comme f est bijective, donc il existe n_0 / f(n_0) = 0.
Et comme f() > 0, alors 0 > , ce qui contredit .
Donc A .

Supposons que A est fini (#A ), donc A admet un plus grand élément. soit cet élément, donc:
n / n \ + 1, on a f(n) > n, donc f(n) > n n + 1, donc f(n) n + 2, donc f({n + 1, ..........}) c {n + 2, ................}.

Soit I = {n A/ f(n) {n + 2, ............. }} et J = {n A/ f(n) {0, ............. , n + 1 }} avec #J n + 1,
donc les éléments de {0, ................; , n + 1} ne peuvent avoir d'antécédents que dans J,
et comme #{0, ..............., n + 1} = n + 2, il y' aura toujours des éléments de {0, ........... , n + 1} sans antécédents, donc f n'est pas surjective donc non bijective, ce qui contredit la condition f bijective, donc A n'est pas fini et n'admet pas de plus grand élément, donc:

il existe N / n \mathbb{N}, n > N f(n) n, donc
il existe N / n , n > N 1.

Comme f est bijective, on a: il existe M / n , n > M (n) n,
donc il existe M / n \mathbb{N}, n > M n f(n),
donc il existe M / n , n > M 1 ,

donc il existe R avec R = max (M,N) / n , n > R 1 1,

donc il existe R avec R = max (M,N) / n , n > R = 1,

donc = 1 .

[Ben314]

Oui, mais ce que je proposait, c'est exactement la même chose que ce que fait Moulou :
Si la limite de f(n)/n existe et est >1 on obtient une contradiction avec le fait que f est sensée être surjective.
Après, on peut soit refaire un truc semblable dans le cas où la limite existe et est <1 pour montrer que c'est en contradiction avec l'injectivité, soit plus simplement montrer que, si f est bijective et que la limite de f(n)/n existe et vaut L alors la limite de f^-1(n)/n (où f^-1 est la bijection réciproque) existe aussi et vaut 1/L.

[MouLou]

", donc " ?? Ok j'ai rien dit juste une coquille. Pour la suite:

"il existe N \in \mathbb{N} / \forall n \in \mathbb{N}, n > N \rightarrow f(n) \le n", le fait que A soit infini ne dit pas que A contient un intervalle [N,+\infty[, pas d'accord.

En revanche tu peux dire qu'il existe une extraction telle que et la tu as la même conclusion en disant que suite extraite converge vers la même limite que la suite originelle

[Ben314]

Le principe c'est plus ou moins ça, mais ça :

...donc A n'est pas fini et n'admet pas de plus grand élément, donc:

il existe N / n n > N f(n) n

c'est complètement faux : ce n'est pas parce qu'un ensemble est infini qu'il contient tout les entiers à partir d'un certain rang.
Par exemple, l'ensemble des entiers pairs est infini et les entiers ne sont pas tous pairs à partir d'un certain rang !!!!

EDIT : grilled...