Développement limité L1

[Bouji]

Bonjour,
je suis actuellement en révision pour mes partiels, et j'ai noté quelques soucis concernant les développements limités.

Merci d'avance pour votre aide.

1) Donner le développement limité de f*g avec:
f(x)=1+2x+x^2+o(x^2)
g(x)=1-x+3x^2+o(x^2)

je trouve et le résultat est bon:
f*g=1+x+2x^2+o(x^2)

c'est la question 2) qui me gène bien qu'elle soit simple:
2)donner le développement limité de 1/f et 1/g.
je pars de (1+2x+x^2+o(x^2))^-1 (inverse) je sais qu'il y a moyen de me ramener à une forme usuelle (1+x) mais je n'y arrive pas, la correction du professeur saute pas mal de ligne :s

[MouLou]

Salut. Oui, l'idée est d'utiliser le DL de 1/(1+x), et pour cela, passer de 1/f à 1/(1+u).
Avec , que devrait valoir u?

Après faut juste calculer le dl de 1/(1+u) avec la méthode classique

[Bouji]

justement c'est bien le u qui me dérange, dans certains DL on peut poser X=2x+x^2
Je suppose alors que je peux le faire ici aussi?
Donc en posant X=2x+x^2
J'applique la formule (1+x)^a avec a=-1
donc (1+x)^-1=1-X+X^2+o(x^2)
je trouve 1/f= 1-2x+3x^2+o(x^2)

Je pense que c'est correct ?
Merci.

[chan79]

Salut. Oui, l'idée est d'utiliser le DL de 1/(1+x), et pour cela, passer de 1/f à 1/(1+u).
Avec , que devrait valoir u?

Après faut juste calculer le dl de 1/(1+u) avec la méthode classique

ou alors tu divises 1 par 1+2x+x² (division selon les puissances croissantes à l'ordre 2)

[MouLou]

justement c'est bien le u qui me dérange, dans certains DL on peut poser X=2x+x^2
Je suppose alors que je peux le faire ici aussi?
Donc en posant X=2x+x^2
J'applique la formule (1+x)^a avec a=-1
donc (1+x)^-1=1-X+X^2+o(x^2)
je trouve 1/f= 1-2x+3x^2+o(x^2)

Je pense que c'est correct ?
Merci.

Je comprends pas qui te dérange puisque tu fais exactement la même chose que je t'ai dite. Qu'entends tu par certains DL? pourquoi retires tu le o(x^2) dans l'écriture de X?

Moi je propose juste d'utiliser le fait suivant:

Si une fonction u admet un DL à 0 à l'ordre n, alors 1/(1+u) admet un DL à 0 à l'ordre n, et ce DL est donné en écrivant 1/(1+u)=1-u+u^2-u^3+....+(-1)^n u^n+o(u^n). et pour avoir l'écriture de u^k tu écris le DL de u, tu prends la partie polynomiale tu l'élèves à la puissance k et tu ne gardes que les termes d'ordre inférieur ou égal à n.


Ton résultat au final est correct

[aymanemaysae]

Comme l'a dit M. Moulou, votre résultat est juste, mais je poste ma solution dans l'espoir que M. Moulou veuille bien me corriger sa rédaction.

Soit le développement limité de f au voisinage de 0, et le développement limité de au voisinage de 0, avec = 1 + 2x + + o() et = 1 - u + + o() .

Si u = f(x) - 1 , alors u = 2x + +o() et = 4 + o(), et on peut écrire:

= = 1 - ( 2x + ) + 4 + o() = 1 - 2x + 3 + o().

[Bouji]

Finalement ça ne me dérange pas, disons que la correction de mon prof est... incorrect et ça m'a induit en erreur. C'est seulement que j'ai eu du mal à prendre le u, je l'ai fait d’après ton indication.

Pour le o(x^2) c'est une faute de frappe.
Merci beaucoup pour ton aide, c'est bien simple finalement :)

Si j'ai besoin d'aide sur les DL, je peux up ce post ou je dois en re-crée un ?

[Ben314]

Si une fonction u admet un DL à 0 à l'ordre n, alors 1/(1+u) admet un DL à 0 à l'ordre n, et ce DL est donné en écrivant 1/(1+u)=1-u+u^2-u^3+....+(-1)^n u^n+o(u^n). et pour avoir l'écriture de u^k tu écris le DL de u, tu prends la partie polynomiale tu l'élèves à la puissance k et tu ne gardes que les termes d'ordre inférieur ou égal à n.

Faire quand même gaffe que, pour que le o(u^n) soit bien un o(x^n), ça serait assez utile que u(x) "commence" par du lambda.x (i.e. qu'il n'y ait pas de constante)
Dit autrement, le D.L. 1/(1+u)=1-u+u²..., il est valable pour u proche de 0 donc si on remplace u par un truc, il faut absolument que le truc soit proche de 0.

Je dit ça parce que j'ai déjà vu souvent du qui est complètement incohérent pour x proche de 0, (par contre ça serait valable pour x proche de -1...)

[MouLou]

Comme l'a dit M. Moulou, votre résultat est juste, mais je poste ma solution dans l'espoir que M. Moulou veuille bien me corriger sa rédaction.

Soit le développement limité de f au voisinage de 0, et le développement limité de au voisinage de 0, avec = 1 + 2x + + o() et = 1 - u + + o() .

Si u = f(x) - 1 , alors u = 2x + +o() et = 4 + o(), et on peut écrire:

= = 1 - ( 2x + ) + 4 + o() = 1 - 2x + 3 + o().

Tu as oublié de préciser à quel ordre tu fais le DL! :--:

Trève de pinaillage c'est comme cela que j'aurais écrit oui.

[Ben314]

Si j'ai besoin d'aide sur les DL, je peux up ce post ou je dois en re-crée un ?

Au diable les varices..... fait en un autre... (en fait, c'est comme tu le sent)

[MouLou]

Faire quand même gaffe que, pour que le o(u^n) soit bien un o(x^n), ça serait assez utile que u(x) "commence" par du lambda.x (i.e. qu'il n'y ait pas de constante)
Dit autrement, le D.L. 1/(1+u)=1-u+u²..., il est valable pour u proche de 0 donc si on remplace u par un truc, il faut absolument que le truc soit proche de 0.

Je dit ça parce que j'ai déjà vu souvent du qui est complètement incohérent pour x proche de 0, (par contre ça serait valable pour x proche de -1...)

Oui c'est très juste merci de la précision que j'avais oubliée

[Bouji]

Merci à vous !

je m'en vais retourner mes annales...