DM°sur les dérivés

[younes95600]

J'ai commencé un devoir maison sur les dérivés dont voici le sujet:
Exercice 1:
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x²-3x.
1.
a. Calculer f(1) et f(1+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 1+h et 1.
c. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^' (1)

2.
a. Calculer f(3) et f(3+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 3+h et 3.
c. En déduire que f est dérivable en 3 et calculer f^' (3)
3.
Soit a un nombre réel.
a. Calculer f(a) et f(a+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre a+h et a.
c. En déduire que f est dérivable en a et calculer f^' (a)

Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur [0;+;)[, par f(x)=1/x.
1.
a. Calculer f(1) et f(1+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 1+h et 1.
c. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^' (1)

2.
a. Calculer f(3) et f(3+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 3+h et 3.
c. En déduire que f est dérivable en 3 et calculer f^' (3)

3.
Soit a un nombre réel.
a. Calculer f(a) et f(a+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre a+h et a.
c. En déduire que f est dérivable en a et calculer f^' (a)
Dans l'exercice 1:
J'ai trouvé pour le 1.a.
-f(1)=2*(1²)-3*1=-1
-f(1+h)=
Pour ]-;);-1],le résultat est positif
Pour ]-1;1,5],le résultat est négatif
Pour ]1,5;+;)],le résultat est positif
Pour 1.b.
f(1+h)-f(1)sur (1+h)-1=f(1+h)sur(1+h)=1
Pour 1.c.
Je n'est pas put déduire pourquoi il était dérivable en 1.
f'(1)=f(1+h)+f(1)sur h=f(1)+f(1)=-2
Je pense que je me suis trompé et je n'est rien compris pouvez vous m'expliquez?
merci

[titine]

J'ai commencé un devoir maison sur les dérivés dont voici le sujet:
Exercice 1:
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x²-3x.
1.
a. Calculer f(1) et f(1+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 1+h et 1.
c. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^' (1)

Dans l'exercice 1:
J'ai trouvé pour le 1.a.
-f(1)=2*(1²)-3*1=-1 oui
-f(1+h)=

f(x)=2x²-3x
Donc f(1+h) = 2(1+h)² - 3(1+h) = 2(1 + 2h + h²) - 3 - 3h = 2h² + h -1
Ok ?

Taux d'accroissement de f entre a et b = (f(b) - f(a))/(b - a)
Donc, taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h = (f(1+h) - f(1))/h
= (2h² + h -1 - (-1))/h
= (2h² + h)/h
= h(2h + 1)/h
= 2h + 1
Çà va ?

Cherche dans ton cours la définition d'une fonction dérivable en a et du nombre dérivé en a.

[younes95600]

[quote="titine"]f(x)=2x²-3x
Donc f(1+h) = 2(1+h)² - 3(1+h) = 2(1 + 2h + h²) - 3 - 3h = 2h² + h -1
Ok ?

Taux d'accroissement de f entre a et b = (f(b) - f(a))/(b - a)
Donc, taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h = (f(1+h) - f(1))/h
= (2h² + h -1 - (-1))/h
= (2h² + h)/h
= h(2h + 1)/h
= 2h + 1
Çà va ?

Cherche dans ton cours la définition d'une fonction dérivable en a et du nombre dérivé en a.


Pourquoi peut on dire qu'il est dérivable en 1(pour le petit c.) la première partie. J'aurais surement besoin de vous encore pour les autres questions merci (1.c et exercice 2 ).
Merci.

[titine]

Pourquoi peut on dire qu'il est dérivable en 1(pour le petit c.) la première partie

Ce n'est pas écrit dans ton cours ?
Tu peux regarder : ici

As tu compris mon calcul donnant :
(f(1+h) - f(1))/h = 2h +1 ?

Lorsque h tend vers 0 alors 2h + 1 tend vers 1.
Tu comprends ?

Donc puisque la limite quand h tend vers 0 de (f(1+h) - f(1))/h est un nombre réel, 1, on peut dire que f est dérivable en 1 et que f'(1) = 1

Je te laisse faire :

2. a. Calculer f(3) et f(3+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 3+h et 3.
c. En déduire que f est dérivable en 3 et calculer f^' (3)

C'est la même chose. Ça permettra de voir si tu as bien compris.

Envoie ce que tu as fait on te dira si c'est bon.

[younes95600]

merci je vais le faire a plus tard

[younes95600]

Pour le 2.J'ai fait
a.f(3)=2*(3²)-3*3=18-9=9.
.f(3+h)=2(3+h)²-3(3+h)=18-12h+2h²-9-3h=2h²+9h+9

b.(f(3+h)-f(1))/h=(2h²+9h+9(-9))/h=(2h²+9h)/h=(h(2h+9))/h=2h+9.
c.Dons il n'est pas dérivable en 3. J'ai dut faire une erreur dans mes calculs mais je ne vois pas où?

[titine]

Pour le 2.J'ai fait
a.f(3)=2*(3²)-3*3=18-9=9.
.f(3+h)=2(3+h)²-3(3+h)=18+12h+2h²-9-3h=2h²+9h+9

b.(f(3+h)-f(3))/h=(2h²+9h+9-9)/h=(2h²+9h)/h=(h(2h+9))/h=2h+9.
C'est bon
c.Dons il n'est pas dérivable en 3. J'ai dut faire une erreur dans mes calculs mais je ne vois pas où?

Mais si , f est dérivable en 3 et f'(3) = 9 car la limite quand h tend vers 0 de 2h+9 est 9.
En effet si h se rapproche de 0 alors 2*h se rapproche de 0 et 2h+9 se rapproche de 9.

Tu comprends ?

Maintenant, même chose avec a :

3.
Soit a un nombre réel.
a. Calculer f(a) et f(a+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre a+h et a.
c. En déduire que f est dérivable en a et calculer f^' (a)

[younes95600]

Mais si , f est dérivable en 3 et f'(3) = 9 car la limite quand h tend vers 0 de 2h+9 est 9.
En effet si h se rapproche de 0 alors 2*h se rapproche de 0 et 2h+9 se rapproche de 9.

Tu comprends ?

Maintenant, même chose avec a :

J'ai à peu prés compris, mais alors pourquoi dans le petit 1., le nombre trouvé est 1?
Et dans le 3. j'ai trouvé 2a²-3a=f(a)etf(a+h)=2a²+4ah+2h²-3a-3h.Je n'ai pas vraiment compris le résultat trouvé merci de ta compréhension.

[laetidom]

J'ai à peu prés compris, mais alors pourquoi dans le petit 1., le nombre trouvé est 1?
Et dans le 3. j'ai trouvé 2a²-3a=f(a)etf(a+h)=2a²+4ah+2h²-3a-3h.Je n'ai pas vraiment compris le résultat trouvé merci de ta compréhension.

Bonjour à tous,

dans le 1) qd h --->0 le taux ---> +1 ====> f ' (1) = +1

dans le 2) qd h --->0 le taux ---> +9 ====> f ' (3) = +9


dans les 2 cas la fonction est bien dérivable puisque l'on obtient un nombre fini (1 et 9), si tu avais obtenu un nombre infini, la fonction n'aurait pas été dérivable, et pourquoi ?...

car la dérivée c'est la pente de la tangente à la courbe !.....



dans les 2 cas :

on a une pente de 1 : 1 en x puis 1 en y

et une pente de 9 : 1 en x puis 9 en y

si tu avais obtenu non pas un nombre fini mais ça aurait voulu dire que tu aurais eu une pente : 1 en x puis en y ====> essaye de dessiner cette tangente, tu verra que l'on tend vers une tangente verticale !....

[titine]

J'ai à peu prés compris, mais alors pourquoi dans le petit 1., le nombre trouvé est 1?
Et dans le 3. j'ai trouvé 2a²-3a=f(a)etf(a+h)=2a²+4ah+2h²-3a-3h.Je n'ai pas vraiment compris le résultat trouvé merci de ta compréhension.

Dans 1) (f(1+h)-f(1))/h = 2h + 1
Donc limite quand h tend vers 0 de (f(1+h)-f(1))/h = limite quand h tend vers 0 de 2h + 1 = 1
Car si h se rapproche de 0 alors 2h + 1 se rapproche de 1.
Conclusion : f'(1) = 1

Dans 2) (f(3+h)-f(3))/h = 2h + 9
Donc limite quand h tend vers 0 de (f(3+h)-f(3))/h = limite quand h tend vers 0 de 2h + 9 = 9
Car si h se rapproche de 0 alors 2h + 9 se rapproche de 9.
Conclusion : f'(3) = 9

3) On a bien :
f(a)=2a²-3a
f(a+h)=2a²+4ah+2h²-3a-3h
Donc (f(a+h)-f(a))/h = (4ah+2h²-3h)/h = h(4a+2h-3)/h = 2h+4a-3
Et la limite quand h tend vers 0 de 2h+4a-3 est 4a-3
Donc f'(a) = 4a-3
Remarque pour a=1 on retrouve le résultat de 1) et pour a=3 on retrouve le résultat de 2)

Qu'est ce que tu ne comprends pas ?
As tu relu ton cours.
Te souviens tu des explications données par ton professeur pour introduire cette notion de nombre dérivé. Je suppose qu'il vous a parlé d'une droite qu'on appelle tangente à la courbe et de la pente de cette droite ...

Quand tu auras bien compris cette exercice, tu passeras au suivant.

[younes95600]

non nous sommes qu'à la première partie du cours

[titine]

non nous sommes qu'à la première partie du cours

Et qu'est ce que votre prof vous a raconté dans cette première partie du cours ?

As tu compris l'exercice 1 ?

[younes95600]

Et qu'est ce que votre prof vous a raconté dans cette première partie du cours ?

As tu compris l'exercice 1 ?

Maintenant que tu me l'a expliquée oui .

Mais par contre pour l'exercice 2:

Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur [0;+;)[, par f(x)=1/x.
1.
a. Calculer f(1) et f(1+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 1+h et 1.
c. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^' (1)

2.
a. Calculer f(3) et f(3+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 3+h et 3.
c. En déduire que f est dérivable en 3 et calculer f^' (3)

3.
Soit a un nombre réel.
a. Calculer f(a) et f(a+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre a+h et a.
c. En déduire que f est dérivable en a et calculer f^' (a)



1.a J'ai trouvé f(1)=1/1=1. f(1+h)=1/(1+h)=h
b.f(1+h)-f(1)/(1+h)-1=h-1/h=-1
c.Lorsque h tend vers 0, alors f(1+h) tend vers 1.
f'(1)=-1.Je n'ai pas compris pourquoi c'était égal à -1. Pourrais tu m'éclairer stp.
2.a.f(3)=1/3
f(3+h)=1/(3+h)
b.f(3+h)-f(3)/(3+h)-3=h/h=1.0 partir de là je n'ai pas compris.

[Ben314]

...=1/(1+h)=h

Est tu bien sûr que, par exemple, ?

... (f(1+h)-f(1))/((1+h)-1)=(h-1)/h=-1

De même, pense tu que ?

[younes95600]

Non mais cela fait combien alors (1/(1+h))?

[laetidom]

Maintenant que tu me l'a expliquée oui .

Mais par contre pour l'exercice 2:

Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur [0;+;)[, par f(x)=1/x.
1.
a. Calculer f(1) et f(1+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 1+h et 1.
c. En déduire que f est dérivable en 1 et calculer f^' (1)

2.
a. Calculer f(3) et f(3+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre 3+h et 3.
c. En déduire que f est dérivable en 3 et calculer f^' (3)

3.
Soit a un nombre réel.
a. Calculer f(a) et f(a+h) pour h;)0.
b. calculer le taux d’accroissement de f entre a+h et a.
c. En déduire que f est dérivable en a et calculer f^' (a)



1.a J'ai trouvé f(1)=1/1=1. f(1+h)=1/(1+h)=h
b.f(1+h)-f(1)/(1+h)-1=h-1/h=-1
c.Lorsque h tend vers 0, alors f(1+h) tend vers 1.
f'(1)=-1.Je n'ai pas compris pourquoi c'était égal à -1. Pourrais tu m'éclairer stp.
2.a.f(3)=1/3
f(3+h)=1/(3+h)
b.f(3+h)-f(3)/(3+h)-3=h/h=1.0 partir de là je n'ai pas compris.

Bonjour,

1) f(1)=1 ok

f(1+h)=1/(1+h) et pas = à h

taux f ' (1) = -h/h = -1

et avec la formule du cours f ' (x) = -1/x² et f ' (1) = -1/1² = -1 aussi

ce qui veut dire qu'en x=1 la pente de ta tangente = -1 (1en x puis -1 en y) : http://www.cjoint.com/c/ELBn6VQZfSf

[Ben314]

ça fait.... des tas de choses... par exemple (si h est non nul pour le dernier)
Ca fait aussi
Enfin bref, il y a évidement des tas de façon de l'écrire, mais aucune ne semble plus "simple" que...

[younes95600]

Merci Et également pour le 2. pouvez me dire si c'est bon svp ? Merci

[titine]

et avec la formule du cours f ' (x) = -1/x²

Apparemment younes95600 n'a pas encore vu ces formules.

[titine]

(f(3+h) - f(3))/h = (1/(3+h) - 1/3)/h = (3/(3(3+h)) - (3+h)/(3(3+h)))/h
= (-h/(3(3+h)))/h
= -h/(3(3+h)) * 1/h
= -1/(3(3+h))

Quand h tend vers 0 , 3+h tend vers 3 et donc 3(3+h) tend vers 9 et -1/(3(3+h)) tend vers -1/9.

Conclusion f est dérivable en 3 et f'(3) = -1/9

A toi de nous écrire la question 3.