Division par 4

par **mathmo** » 22 Déc 2015, 23:45

Bonsoir,

Comment justifier à un élève de sixième que la division d'un nombre décimal par 4 est toujours un nombre décimal ?

Merci d'avance pour vos réponses

par **Eoiwa** » 22 Déc 2015, 23:59

mathmo a écrit:Bonsoir,

Comment justifier à un élève de sixième que la division d'un nombre décimal par 4 est toujours un nombre décimal ?

Merci d'avance pour vos réponses

Je ne sais pas si on peut considérer ça comme une justification, mais je me lance.

Imaginons que la division d'un nombre décimal par 4 donnait un nombre entier.
Cela nous donne en réciproque que la multiplication d'un nombre entier par 4 donnait un nombre décimal.
Cela ne colle pas vraiment je trouve. Si tu multiplies deux nombres entiers entre eux, tu ne peux qu'obtenir un nombre entier.

Après, pour expliquer ça à un sixième, c'est assez compliqué...

Par curiosité, pourquoi cette requête ? C'est lié à quelle partie du programme de mathématiques pour les 6èmes ?

par **nodjim** » 23 Déc 2015, 10:16

Si on divise un nombre décimal par 100, ça donne un nombre décimal. Si on le multiplie par 25 aussi.

par **mathmo** » 23 Déc 2015, 10:17

Eoiwa a écrit:Par curiosité, pourquoi cette requête ? C'est lié à quelle partie du programme de mathématiques pour les 6èmes ?

Tout d'abord, merci pour la réponse. Pour répondre à cette question, en fait, il s'agit d'un problème posé sur un "devoir maison" de sixième (bonjour le cadeau ).

La réponse me semble évidente mais pour l'expliquer, la justifier à un élève de niveau sixième, c'est sur ce point que je galère ! J'ai regardé le cours : ils ont vu que si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction égale et aussi que les nombres décimaux sont des fractions qui ont 10, 100, 1000 ... pour dénominateur (formulé comme ceci). Donc je serai tentée d'expliquer comme ceci : parce que 100=4*25. Je ne vois pas comment faire autrement :mur:

Je ne suis pas complètement convaincue par ton explication car selon moi, un nombre entier est aussi un nombre décimal (dont la partie décimale est nulle).

par **titine** » 23 Déc 2015, 10:36

Oui tout à fait.
N/4 = (N*25)/(4*25) = (N*25)/100 c'est donc un nombre décimal.
Ce qui est vrai aussi pour N/5 et pour N/8 ....
Mais pas pour N/3 car pas moyen de multiplier 3 par un nombre entier pour trouver 10 ou 100 ou 1000 ....

par **nodjim** » 23 Déc 2015, 11:32

D'une manière plus générale, tout nombre divisé par un nombre de la forme 2^n*5^m est décimal. Car il suffit de multiplier par 10^(le max de n ou m) pour rendre ce nombre entier. Et comme rediviser par la même puissance de 10 consiste à placer une virgule au bon endroit, c'est la preuve que ces nombres sont décimaux.

par **Eoiwa** » 23 Déc 2015, 12:09

mathmo a écrit:selon moi, un nombre entier est aussi un nombre décimal (dont la partie décimale est nulle).

Ah d'accord, si on considère qu'un nombre entier est aussi un nombre décimal. Je pensais au vu de la question, qu'on différenciait nombre entier et nombre décimal.
Alors je suis désolé de cette explication des plus foireuses, de toute manière, je n'y mettais pas grand espoir dedans. Je mettais juste l'idée que ça pourrait mener sur une piste quelconque.

par **beagle** » 23 Déc 2015, 13:55

Eoiwa a écrit:Ah d'accord, si on considère qu'un nombre entier est aussi un nombre décimal. Je pensais au vu de la question, qu'on différenciait nombre entier et nombre décimal.
Alors je suis désolé de cette explication des plus foireuses, de toute manière, je n'y mettais pas grand espoir dedans. Je mettais juste l'idée que ça pourrait mener sur une piste quelconque.

Oui c'est un problème de définition,
avec la définition des décimaux, tout entier est un décimal.

Maintenant j'aime bien l'exo que tu as résolu, je divise par 4 un décimal non entier, puis-je tomber sur un entier.Ton idée de raisonner par l'absurde est convaincante.Elle aurait été difficile pour un sixième, heureusement le problème était plus simple.

par **MABYA** » 23 Déc 2015, 16:46

TOUJOURS un nombre décimal, NON, 10/2.5=4
est-ce une exception ?
A moins 4,00 soit considéré comme décimal.
Alors tous le nombres entiers seraient décimaux... faudrait savoir.

par **Ben314** » 23 Déc 2015, 16:58

Dans la logique mathématique, il n'y a pas tellement d'ambiguïté, les nombres entiers naturels sont des cas particuliers d'entiers relatifs qui sont eux même des cas particuliers des nombres décimaux qui sont eux même des cas particulier de nombres rationnels qui sont des cas particuliers de nombres réels.

C'est la même chose pour les figures géométrique : un carré c'est un (cas particulier de) losange et c'est aussi un (cas particulier de) rectangle.
Un rectangle, c'est un (cas particulier de) parallélogramme, un losange, c'est aussi un (cas particulier de) parallélogramme, etc, etc...

par **beagle** » 23 Déc 2015, 17:21

Si on reprend la définition de décimal, entier à une puissance de 10 près,
plusieurs formulations mais
a est décimal alors il existe un entier relatif m et un entier naturel p tel que
a= m/10^p

donc 4 est un entier,
4 est aussi un décimal car: 4 = 4/10^0 = 40/10^1 = 400/10^2

par **titine** » 23 Déc 2015, 17:30

MABYA a écrit:TOUJOURS un nombre décimal, NON, 10/2.5=4
est-ce une exception ?
A moins 4,00 soit considéré comme décimal.
Alors tous le nombres entiers seraient décimaux... faudrait savoir.

Bin évidemment !

par **MABYA** » 23 Déc 2015, 18:22

Alors quelles définitions doit-on donner d'un nombre entier et d'un nombre décimal ?
pour un élève der 6ème bien entendu

par **titine** » 23 Déc 2015, 19:16

Que dirai je à un élève de sixième ?
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie entière, une virgule et une partie décimale finie.
Cette partie décimale peut être égale à 0.
La partie décimale peut s'écrire avec de nombreux chiffres mais pas une infinité de chiffres.
Par exemple 4:3 n'est pas un nombre décimal car en posant la division on voit bien que celle ci ne se terminera jamais.
On peut aussi dire qu'un nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction décimale puisque les fractions décimales ont été étudiées en primaire.
Exemples : 2,3 = 23/10 , 4 = 40/10
Il est très important que l'élève comprenne qu'un entier est un décimal particulier (comme un carré est un rectangle particulier)
Je pense d'ailleurs que c'est naturel car lorsqu'on gradue un axe en dixième, par exemple, on a :
0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1 ; 1,1 ; 1,2 ; .....
Il ne serait pas du tout logique d'éliminer 0 et 1 sous prétexte que ce sont des entiers.

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