Exercice Type Bac

[LaylaManga]

Bonjour!

Alors voilà, j'ai (encore) un soucis avec un exercice... :
A/ On donne dans un repère orthonormé la Courbe C représentative de la fonction f tel que f(x) = xe^-x ( En plus du dessin, on a une courbe d'équation y=x)
1. Démontrer que la droite d d'équation y=x est tangente a C en x=0
2.a.Démontrer que pour tout m appartenant a l'intervalle ]0;1/e[ , l'équation f(x)=m a deux solutions
b. Dans le cas ou m=1/4, on note alpha et bêta les solutions (avec alphaDéterminer un encadrement de alpha d'amplitude 10^-2

B/ on considère la suite Un définie par U0=alpha et pour tout entier n de N, U(n+1)=f(Un)
1. a reproduire la figure en prenant 5cm pour unité
b. Conjecturer les variations et la convergence de Un
2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0
b. Démontrer que la suite est décroissante
c. Deduisez de la question précédente que la suite Un converge vers un nombre l que l'on déterminera

Mon soucis c'est que je n'arrive pas a commencé l'exercice ^^' Comment on démontre qu'une droite est tangente en x= ? Pour la 2e question du A, je suppose qu'il faudrait delta pour avoir deux solutions mais pareil, je ne sais pas comment la démontrer sur cette intervalle... Merci de bien vouloir m'aider ^^'

[laetidom]

Bonjour!

Alors voilà, j'ai (encore) un soucis avec un exercice... :
A/ On donne dans un repère orthonormé la Courbe C représentative de la fonction f tel que f(x) = xe^-x ( En plus du dessin, on a une courbe d'équation y=x)
1. Démontrer que la droite d d'équation y=x est tangente a C en x=0



Mon soucis c'est que je n'arrive pas a commencé l'exercice ^^' Comment on démontre qu'une droite est tangente en x= ?


Bonjour,

A1)

tu as f(x) = xe^-x

calcule sa dérivée : e^-x - xe^-x = e^-x (1-x)

on te demande en x=0

donc quelle est la dérivée de f(x) en 0, c'est-à-dire la pente de la tangente à f(x) en x=0 ?

e^-x (1-x) avec x=0 donne e^0 (1-0) = e^0 = 1

donc la pente de la tangente à f(x) en x=0 est égale à 1 c'est-à-dire tu fais 1 en x puis 1 en y, c'est une droite passant par O(0;0) et de pente 45°, c'est donc la droite d'équation y = x
cqfd.

[FormulesSciences]

Pensez à l'équation de la tangente et à la dérivée que vous évaluerez en 0.
Equation de la tangente : f'(a) (x-a) + f(a)

https://twitter.com/FormulesScience

[mathelot]

Pensez à l'équation de la tangente et à la dérivée que vous évaluerez en 0.
Equation de la tangente : y=f'(a) (x-a) + f(a)

https://twitter.com/FormulesScience

..............................;

[LaylaManga]

Bonjour!

Alors voilà, j'ai (encore) un soucis avec un exercice... :
A/ On donne dans un repère orthonormé la Courbe C représentative de la fonction f tel que f(x) = xe^-x ( En plus du dessin, on a une courbe d'équation y=x)
1. Démontrer que la droite d d'équation y=x est tangente a C en x=0



Mon soucis c'est que je n'arrive pas a commencé l'exercice ^^' Comment on démontre qu'une droite est tangente en x= ?


Bonjour,

A1)

tu as f(x) = xe^-x

calcule sa dérivée : e^-x - xe^-x = e^-x (1-x)

on te demande en x=0

donc quelle est la dérivée de f(x) en 0, c'est-à-dire la pente de la tangente à f(x) en x=0 ?

e^-x (1-x) avec x=0 donne e^0 (1-0) = e^0 = 1

donc la pente de la tangente à f(x) en x=0 est égale à 1 c'est-à-dire tu fais 1 en x puis 1 en y, c'est une droite passant par O(0;0) et de pente 45°, c'est donc la droite d'équation y = x
cqfd.

Alors j'ai compris le principe mais l'histoire de pente ne m'inspire pas.. En fait, f'(0)=1 nous prouve en quoi que x et y =1?

[laetidom]

Alors j'ai compris le principe mais l'histoire de pente ne m'inspire pas.. En fait, f'(0)=1 nous prouve en quoi que x et y =1?

c'est quoi la dérivée ?....ça représente quoi ? physiquement ?....


f ' (0) = 1 veut dire que la pente de la tangente en x=0 est égale à 1


et c'est quoi une pente de valeur 1 ? ? ?.....


si y = ax


si a=1, et si x=1 alors y=1 ! ! !? non ?????

[biss]

Une pente est de cette forme
Donc en 0 la tangente est
Je trouve
Et
Donc la tangente au point 0 est donc c'est

[LaylaManga]

c'est quoi la dérivée ?....ça représente quoi ? physiquement ?....


f ' (0) = 1 veut dire que la pente de la tangente en x=0 est égale à 1


et c'est quoi une pente de valeur 1 ? ? ?.....


si y = ax


si a=1, et si x=1 alors y=1 ! ! !? non ?????

Ah oui j'avais pas vu! ^^' merci!
Et d'ailleurs pour la 2e question avec m, vous pouvez m'aider pour un début? J'ai bien une idée mais je ne pense pas qu'elle marche... Vu qu'on demande f(x)=m a deux solutions je me disais qu'il fallait un delta mais c'est compliqué avec f(x) ^^'

[titine]

2.a.Démontrer que pour tout m appartenant a l'intervalle ]0;1/e[ , l'équation f(x)=m a deux solutions

Méthode :
Dresser le tableau de variations de f (sens de variation avec le signe de f' , limites , extremum)
Puis utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

[LaylaManga]

Méthode :
Dresser le tableau de variations de f (sens de variation avec le signe de f' , limites , extremum)
Puis utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Ah OK merci! Et sur le tableau de variations on mey directement ou se trouve alpha et bêta ? Avec m sur les flèches? J'ai un doute.. Par contre pour trouver l'encadrement, je dois rentrer quel fonction sur ma calculatrice? J'ai fait celle de f(x) mais ça ne m'a pas l'air d'être ça.. J'ai montré par récurrence que Un>0 mais a la question d'après on nous demande de démontrer que Un est décroissante! Je comprend pas trop comment le prouver.... On vient de dire que c'est croissant et maintenant on montre que c'est décroissant...
Ah juste! Pour la récurrence, quand on vérifie pour n=0 on fait U0>0 donc alpha >0 mais on justifie que alpha>0 par rapport au tableau de variations ? Merci de m'aider! ^^'

[titine]

Ah OK merci! Et sur le tableau de variations on mey directement ou se trouve alpha et bêta ? Avec m sur les flèches? J'ai un doute..

Que trouves tu comme tableau de variations ?

Par contre pour trouver l'encadrement, je dois rentrer quel fonction sur ma calculatrice? J'ai fait celle de f(x) mais ça ne m'a pas l'air d'être ça..

Oui bien sûr !
Pourquoi dis tu que ça n'a pas l'air d'être ça ?

[LaylaManga]

Que trouves tu comme tableau de variations ?



Oui bien sûr !
Pourquoi dis tu que ça n'a pas l'air d'être ça ?

Tableau:
En x : - infini. 0. 1. + infini
Signe de f'(x): +0- (le 0 en dessous du 1)
Variation de f: flèche montante jusqu'au 1 et descendante après
J'ai mis un zéro sur la flèche montante au niveau du zéro et je pensais mettre alpha entre 0 et 1 avec m sur la flèche et bêta entre 1;+infini avec m sur la flèche


Et pour l'encadrement, quand je regarde sur la Table, pour 1/4 = 0,25 je vois 0,2=0,1637 donc mon encadrement je dois le faire à partir de ça? Du genre 0,16<alpha<0,17?

[titine]

Tableau:
En x : - infini. 0. 1. + infini
Signe de f'(x): +0- (le 0 en dessous du 1)
Variation de f: flèche montante jusqu'au 1 et descendante après

Quelles sont les limites de f en -inf et +inf ?
Que vaut le maximum ?

J'ai mis un zéro sur la flèche montante au niveau du zéro et je pensais mettre alpha entre 0 et 1 avec m sur la flèche et bêta entre 1;+infini avec m sur la flèche

C'est ça.

Et pour l'encadrement, quand je regarde sur la Table, pour 1/4 = 0,25 je vois 0,2=0,1637 donc mon encadrement je dois le faire à partir de ça? Du genre 0,16<alpha<0,17?

Ce que tu écris n'est pas clair.
0,2=0,1637 ???? Bizarre cette égalité !
Bon, tu cherches à approcher les valeurs alpha et beta telles que f(alpha) = f(beta) = 0,25
alpha est entre -inf et 1 , beta entre 1 et +inf.
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice , tu constates que :
0 < alpha < 1 (car f(0)=0 et f(1)environ0,37 et 0<0,25<0,37)
Puis en changeant de pas :
0,3 < alpha < 0,4 (car f(0,3) environ 0,22 et f(0,4) environ 0,27)
et en prenant un pas de 0,01 :
.... < alpha < ....

[LaylaManga]

Quelles sont les limites de f en -inf et +inf ?
Que vaut le maximum ?


C'est ça.


Ce que tu écris n'est pas clair.
0,2=0,1637 ???? Bizarre cette égalité !
Bon, tu cherches à approcher les valeurs alpha et beta telles que f(alpha) = f(beta) = 0,25
alpha est entre -inf et 1 , beta entre 1 et +inf.
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice , tu constates que :
0 < alpha < 1 (car f(0)=0 et f(1)environ0,37 et 0<0,25<0,37)
Puis en changeant de pas :
0,3 < alpha < 0,4 (car f(0,3) environ 0,22 et f(0,4) environ 0,27)
et en prenant un pas de 0,01 :
.... < alpha < ....

Ah oui oui d'accord, je vois f(0) et f(1) mais même en changeant de pas, vous le sortez d'où le 0,3 et 0,4?

[titine]

Ah oui oui d'accord, je vois f(0) et f(1) mais même en changeant de pas, vous le sortez d'où le 0,3 et 0,4?

Tu fais afficher un tableau de valeurs commençant à 0 et de pas 0,1.
Tu obtiens :
f(0)=0
f(0,1);)0,09
f(0,2);)0,16
f(0,3);)0,22
f(0,4);)0,27
Donc alpha tel que f(alpha)=0,25 est entre 0,3 et 0,4

Maintenant tu fais afficher un tableau commençant à 0,3 et de pas 0,01 et tu obtiendras un encadrement d'amplitude 10^(-2)

[LaylaManga]

Tu fais afficher un tableau de valeurs commençant à 0 et de pas 0,1.
Tu obtiens :
f(0)=0
f(0,1);)0,09
f(0,2);)0,16
f(0,3);)0,22
f(0,4);)0,27
Donc alpha tel que f(alpha)=0,25 est entre 0,3 et 0,4

Maintenant tu fais afficher un tableau commençant à 0,3 et de pas 0,01 et tu obtiendras un encadrement d'amplitude 10^(-2)

Ah ok j'avais pas vu! Merci ^^
Et pour ma question d'avant, quand il faut démontrer que c'est décroissant, vous avez une méthode?

[titine]

Ne pas tenir compte de ce qui suit, c'est n'importe quoi ! J'ai rectifié dans le message suivant. (titine)

U(n+1) = f(U(n)) = U(n) e^(U(n)) - U(n)
Donc U(n+1) - U(n) = U(n) e^(U(n))
Or on a démontré que U(n) > 0
Et on sait que e^(....) > 0
Donc U(n+1) - U(n) > 0
Donc U(n+1) > U(n)
Donc la suite (U(n)) est croissante.

D'autre part, je viens de m'apercevoir que je me suis trompé hier. je n'ai pas saisi la bonne fonction dans ma calculatrice !
Ca donne :
f(0)=0
f(0,1);)0,010
f(0,2);)0,044
f(0,3);)0,105
f(0,4);)0,197
f(0,5);)0,324
Donc 0,4 < alpha < 0,5

Puis , en recommençant :
0,44 < alpha < 0,45

Ok cette fois ?

[LaylaManga]

U(n+1) = f(U(n)) = U(n) e^(U(n)) - U(n)
Donc U(n+1) - U(n) = U(n) e^(U(n))
Or on a démontré que U(n) > 0
Et on sait que e^(....) > 0
Donc U(n+1) - U(n) > 0
Donc U(n+1) > U(n)
Donc la suite (U(n)) est croissante.

D'autre part, je viens de m'apercevoir que je me suis trompé hier. je n'ai pas saisi la bonne fonction dans ma calculatrice !
Ca donne :
f(0)=0
f(0,1);)0,010
f(0,2);)0,044
f(0,3);)0,105
f(0,4);)0,197
f(0,5);)0,324
Donc 0,4 < alpha < 0,5

Puis , en recommençant :
0,44 < alpha < 0,45

Ok cette fois ?

Oula! Moi non plus je n'avais pas fais attention ^^' Oui c'est bon pour cette fois ci merci beaucoup d'ailleurs!

[titine]

Ouhla ! Je t'ai dit n'importe quoi ce matin !
T'as pas vu que j'ai démontré que la suite est croissante alors qu'on te demande de démontrer qu'elle est décroissante ?

La fonction f est bien f(x) = x e^(-x) et pas f(x) = x e^x - x

Donc 0,35 < alpha < 0,36

De plus , on n'a pas :
U(n+1) = f(U(n)) = U(n) e^(U(n)) - U(n)
Mais :
U(n+1) = f(U(n)) = U(n) e^(-U(n))
Donc U(n+1) - U(n) = U(n) e^(-U(n)) - U(n) = U(n) (e^(-U(n)) - 1)
Or on sait que U(n) > 0
Donc - U(n) < 0
Donc e^(-U(n)) < 1
Donc e^ (-U(n)) - 1 < 0
Et donc U(n) (e^(-U(n)) - 1) < 0
C'est à dire : U(n+1) - U(n) < 0

J'espère ne pas avoir dit de bêtises cette fois !