Branchements, coupures - Fonction de variable complexe

[Dylaa2n]

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec la notion de points de branchement, coupures et branches.
Si je prends la fonction suivante : , avec z variable complexe, on a remarqué qu'il y a deux points de branchements.

Si j'ai bien compris, le nombre de branches qu'une fonction a est le nombre "d'étages" que l'on pourra observer sur un graphe et, tout en haut du graphe, on retombera à la base de cette figure grâce aux coupures que l'on aura faite. Selon moi, les coupures servent donc à rendre la fonction "périodique". Les points de branchement sont selon moi les points de "départ" des coupures et en quelque sorte les racines de la fonction.

Cependant, je me pose les questions suivantes :
- Comment savoir si une fonction aura des points de branchement et besoin de coupures?
- Si nous avons deux points de branchements comme dans le cas de notre fonction , nous aurons obligatoirement besoin de deux coupures? Une n'est pas suffisante?
- En développant en coordonnées polaires, j'obtiens :
avec et . Je pense avoir compris que c'est en rajoutant à ou que l'image devient différente car l'argument de f(z) est décalé d'une valeur mais je ne vois pas vraiment comment les coupures permettent de résoudre ce problème.
- Une dernière petite question : Quand on représente graphiquement z et z-1 (Image) , je ne vois pas pourquoi z-1 passe par le point (1,0). Nous travaillons dans le plan il me semble mais je n'arrive pas à le voir gaphiquement.

Merci pour vos réponses :happy2:

[Robot]

Ton discours me paraît très fumeux et j'ai du mal à le suivre.

Une chose est sûre : si tu retires du plan complexe le segment , tu as une détermination holomorphe de : si tu fais un tour autour de ce segment, tu as fait un tour autour de 0 et donc tu as changé de signe dans la détermination de , pour la même raison tu as changé de signe dans la détermination de et donc tu retombes sur tes pieds pour la détermination de .