Les Nombres Rationnels

[elmoussati]

soit a,b,c,d, apartient Q et x apartien R/Q

Trouver une condition suffisante et nécessaire sur (a,b,c,d) pour que (ax+b)/(cx+d) eoit rationel?

[Ben314]

Salut, si alors et, si était non nul, on aurait ce qui est contraire à l'hypothèse.
Donc il faut que et donc et ces 2 conditions sont suffisante pour que .
- Soit alors doit aussi être nul et quelque soient d et e (avec ) on a
- Soit alors on doit avoir et il faut que c'est à dire que .

[elmoussati]

Salut, si alors et, si était non nul, on aurait ce qui est contraire à l'hypothèse.
Donc et donc .
- Si alors doit être nul et quelque soient d et e (avec ) on a
- Si alors on doit avoir et il faut que c'est à dire que .

pas compris Si 4$c=0 alors a doit etre nul, et pour c defernt de 0?

[aymanemaysae]

est définie pour (c,d) (0,0).

Si = r avec r Q , on a:

a) Si c = 0 et a 0 , on a x = Q : résultat aberrant.
b) Si c = 0 , a = 0 et b = 0 , on a d = 0 : résultat aberrant.
c) Si c = 0 , a = 0 et b 0 , on a r = .

Donc pour (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls on a est rationnel.

d) Si d = 0 et b = 0 , on a r = .
e) Si d = 0 et b 0 , on a x = Q : résultat aberrant.

On a aussi pour (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0 on a est rationnel.

Conclusion :

Pour (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls ou (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0 on a est rationnel.

[elmoussati]

est définie pour (c,d) (0,0).

Si = r avec r Q , on a:

a) Si c = 0 et a 0 , on a x = Q : résultat aberrant.
b) Si c = 0 , a = 0 et b = 0 , on a d = 0 : résultat aberrant.
c) Si c = 0 , a = 0 et b 0 , on a r = .

Donc pour (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls on a est rationnel.

d) Si d = 0 et b = 0 , on a r = .
e) Si d = 0 et b 0 , on a x = Q : résultat aberrant.

On a aussi pour (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0 on a est rationnel.

Conclusion :

Pour (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls ou (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0 on a est rationnel.

Où est-il condition suffisante et nécessaire ?

[aymanemaysae]

est un rationnel (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls ou (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0.

Il vous reste à faire l'implication dans l'autre sens: qui est évidente.

Tout ceci, si ma démarche est exempte d'erreurs.

[Ben314]

est un rationnel (a,b,c,d) = (0,b,0,d) avec b et d non nuls ou (a,b,c,d) = (a,0,c,0) avec a R et c 0.

Il vous reste à faire l'implication dans l'autre sens: qui est évidente.

Tout ceci, si ma démarche est exempte d'erreurs.

C'est effectivement faux, par exemple si (a,b,c,d)=(1,2,3,6) alors .
La C.N.S. est donnée dans le premier post : c'est ad-bc=0.

[aymanemaysae]

Merci pour l'intérêt que vous avez apporté à ma solution, et merci aussi pour la correction: je viens de me rendre compte que ma démarche était incomplète puisque j'ai omis d'étudier le cas où on a (c,d) IR* .
Merci.