Fonctions implicites

[marawita1]

Bonjour,
1) Soient E, F et G des espaces vectoriels normés , et U un ouvert de E x F. On considère f: U---> G.
Comment calculer avec x dans un ouvert E?

2) En utlisant l'application définie par f(A,B)= AB- I, et le théorème des fonctions implicites, montrer que l'application est différentiable et retrouver sa différentielle.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop le sens de la question 1).
- Déjà, il me semble bien que si on tente de calculer , c'est en un point sur lequel f est défini et pas en un point x de E.
- Ensuite, ben j'aurais un tout petit peu tendance à donner comme réponse "ben... avec la définition....", c'est a dire que, pour fixé, on cherche la différentielle en de l'application partielle qui est définie sur un voisinage (dans E) de .
Pour rentrer encore plus dans le détail, un cherche une application linéaire continue (dépendant de et de ) telle que

Dans le 2), c'est quoi que tu ne sait pas faire ?

[Robot]

avec l'application linéaire à trouver ...

[Ben314]

A mon avis, c'est pas ça la méthode attendue et ça explique le "...retrouver sa différentielle" de la fin.

[marawita1]

Bonsoir Ben314,

Pour le 2): On a f(I, I)=0 et D_2 f (I, I) (K)= Df(I, I)( 0,K)= K, pour tout K dans M_n(R)
Donc D_2 f(I, I) est un isomorphisme de M_n(R) dans M_n(R). D’après le théorème des fonctions implicites , il existe un voisinage ouvert V de I dans E et un voisinage ouvert W de I dans F et une application unique : V ---> W de classe C^1 vérifiant:

1)

2) pour tout A dans V, est l'unique point de W vérifiant f(A, )= f(I, I)=0.

Or f(A, )=0, donc pour tout A dans V, g(A)=

et pour tout A dans V , pour tout H dans M_n(R), on a

Dg(A)(H)= D (H)=-[D_2 f(A, )]^{-1} ((D_1 f(A, )(H))= - , car
[D_2 f(A, )]^{-1}(K)= pour tout A dans V.

Tout d'abord c'est juste ce que j'ai fait?

Apres comment déduis-je que g est de classe C^1 sur GL_n(R) et sa différentielle sur tout GL_n(R)?

Merci d'avance.

[Robot]

Plutôt
Voir ce qui se passe pour la dérivée partielle par rapport à la première (edit : non, deuxième !) variable (inversible ?), et si oui avoir comme fonction linéaire de à partir de .
On devrait retrouver le résultat qui ressort du calcul donné dans mon premier message.

[Ben314]

Tout d'abord c'est juste ce que j'ai fait ?

Oui, c'est correct (peut-être faudrait-il détailler comment tu as obtenu la différentielle de f.

Apres comment déduis-je que g est de classe C^1 sur GL_n(R) et sa différentielle sur tout GL_n(R) ?

Exactement de la même façon que ce que tu as procédé, mais au lieu de partir de la constatation que f(I,I)=0, tu part de f(A,A^-1)=0 où A est une matrice quelconque de GLn(R).

[marawita1]

Exactement de la même façon que ce que tu as procédé, mais au lieu de partir de la constatation que f(I,I)=0, tu part de f(A,A^-1)=0 où A est une matrice quelconque de GLn(R).

Si j'ai bien compris au lieu de prendre f(I, I)=0, je travaille avec f(A, A^{-1})=0 où A est une matrice quelconque de GLn(R) et je refais le même travail que dans le message précédent. Si oui, je trouve une application phi définie d'un voisinage V_A de A dans GL_n à valeurs dans un voisinage de A^{-1} dans M_n vérifiant phi (A) est l'unique point tel que f(A, phi(A))=0, donc g(A)= phi(A) pour tout A dans V_A.
Après que peut-on déduire????

[Ben314]

Exactement la même chose que dans le cas où tu était part de f(I,I)=0, c'est à dire que tu en déduit la différentielle en A de la fonction M->M^{-1}

[marawita1]

Exactement la même chose que dans le cas où tu était part de f(I,I)=0, c'est à dire que tu en déduit la différentielle en A de la fonction M->M^{-1}

Ok je vous ai compris, mais le problème, comme précédemment, j'en déduis la différentiabilité de l'application g sur un voisinage de GL_n (et même chose pour le calcul de la différentielle de g) et non pas sur tout GL_n.

[zaidoun]

Ok je vous ai compris, mais le problème, comme précédemment, j'en déduis la différentiabilité de l'application g sur un voisinage de GL_n (et même chose pour le calcul de la différentielle de g) et non pas sur tout GL_n.

g est de classe C^1 sur voisinage de GL_n et puisque A est arbitraire (quelconque) dans GL_n, donc g est de classe C^1 sur tout GL_n.

Meme chose pour la différentielle de g, tu as la différentielle sur voisinage de GL_n et comme A est quelconque dans GL_n, tu récupères la même différentielle sur tout GL_n.