Variation de fonction

[Kayowas]

Bonjour à tous,

Petite question concernant l'étude de variations de fonctions dans le cas général.
En toute rigueur, peut on dire qu'une fonction est croissante (ou décroissante) sur un ensemble sur lequel elle n'est pas définie partout ?
Par exemple, si je définis une fonction f de la manière suivante :
f(x)=(x²-1)/(x+1) pour tout x différent de -1.
On voit que la fonction est égale à x-1 (sauf bien sûr en -1), elle est donc strictement croissante sur ]-inf;-1[ et sur ]-1;+inf[. On peut aller plus loin et prouver que pour tout a et b de cet ensemble a < b <=> f(a) < f(b). Peut on alors dire qu'elle est strictement croissante sur R -{-1} ?
Il me semble que non, et qu'on ne peut affirmer qu'une fonction est croissante ou décroissante uniquement sur un intervalle sur lequel la fonction est entièrement définie. Mais je doute...

Quelqu'un peut il éclairer ma lanterne ?

Merci d'avance !

[mathelot]

la croissance est définie sur un intervalle sur lequel la fonction est définie partout.

contre exemple
f(x)=1/x

décroissante sur R+* et décroissante sur R-*, mais pas sur R*
Dans ton exemple, il y a prolongement par continuité et le prolongement est strictement croissant.

[Kayowas]

Bonjour mathelot,

Merci pour ta réponse, avec laquelle je suis d'accord.
Simplement, à ton exemple, on pourrait faire la réserve suivante : dans le cas de 1/x, la fonction est < 0 sur R*- et > 0 sur R*+, donc on ne retrouve pas la propriété a < b <=> f(a) > f(b) pour tout a et b de R* (par exemple pour a=-1 et b=1), on peut donc clairement affirmer que 1/x n'est pas décroissante sur R*. Mon exemple est plus complexe.
Mais je pense quand même que ta réponse est la bonne.

[mathelot]

Mon exemple est plus complexe.

dans ton exemple, le prolongement par continuité est croissant sur R tout entier.

[Ben314]

Personnellement, la définition que j'emploie de "f est croissante sur X" (X une partie de R sur laquelle f est définie), c'est :

Et donc ça me dérange pas plus que de raison d'écrire qu'une fonction est croissante sur un ensemble qui n'est pas un intervalle (a condition évidement qu'elle le soit effectivement...)
Par exemple, la fonction est effectivement croissante sur et a mon sens, ça n'a qu'un rapport assez lointain avec le fait qu'elle admette un prolongement par continuité en x=-1.
Ca me perturbe pas non plus de dire que est croissante sur