Suite de fonctions

[Mathj]

Determiner vers quoi converge ponctuellement chacune des suites de fonctions
suivantes et determiner si la convergence est uniforme ou pas.

fn(x)=(1+nx)/(1+nx^2) pour x appartenant aux réels

Pour trouver vers quoi converge ponctuellement fn(x), j'ai regardé le cas ou x=0 et le cas ou x négale pas 0.

Pour x=0:
limite fn(x) (qand n tend vers l'infini) = 1

Pour x n'égale pas zéro:
limite fn(x) (qand n tend vers l'infini) = limite (1+nx)'/(1+nx^2)' = limite 1/x= 1/x

Mon premier problème est que quand je calcul la limite avec un logiciel j'obtiens 0 tandis qu'à la main j'obtiens 1 si x=0 et 1/x sinon.

Maintenant pour la convergence uniforme:
limite (quand n tends vers l'infini) (sup |fn(x)-f(x)|)
= limite (quand n tends vers l'infini) (sup | (x-1)/(x-nx^3)|)
= limite (quand n tends vers l'infini) (0)
=0
Donc la convergence est uniforme.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver ce qui ne fonctionne pas dans mon raisonnement ?

[Ben314]

Salut,
Pour la convergence simple, c'est O.K. (avec quel logiciel tu as fait tes calculs et tu lui a donné quoi "à manger" ?)
Par contre pour la convergence uniforme, c'est pas bon.
Pour commencer, il est fort probable que tu ait dans ton cours un théorème te permettant immédiatement et sans calculs de conclure dans un cas pareil (les fonctions fn sont toutes continues sur R mais f ne l'est pas...)
Sinon, si on procède comme tu le fait "à la main", ça m'étonnerais plus que beaucoup que la borne supérieure de |(x-1)/(x-nx^3)| (pour x dans quel ensemble d'ailleurs ?) ce soit 0 vu que la seule fonction positive qui a comme borne supérieure 0 (sur un ensemble donné), c'est la fonction nulle...

[Mathj]

J'ai du faire une faute de frappe dans le logiciel .. c'est mon genre ..

J'ai vue dans mon cours un corollaire: Si fn est continue sur un intervalle I (pour tout n) et fn converge uniformément vers f, alors f est continue sur I.
Je ne pensais pas que l'inverse était nécessairement vrai. Mais j'y penserai la prochaine fois !

Pour la borne supérieure, x appartient aux réels. J'ai pensé diviser par x le dénominateur et le numérateur, ce qui me donne
sup |(1-(1/x))/(1+nx^2)|
J'ai essayer de trouver une inégalité =<, mais le fait que x appartienne au réel me bloque.
J'aimerais réussir à faire le problème avec le sup aussi afin d'être le mieux préparer pour mon examen ou encore comprendre pourquoi résoudre le problème avec le sup est impossible.