Fonction borélienne

par **Houuda** » 02 Déc 2015, 00:53

f : R ;) R telle que f(x) = 1/x si x différent de 0 et f(0) =0
quelqu'un peut il me donner une idée pour montrer que f est borélienne

par **mrif** » 02 Déc 2015, 01:03

Il suffit de montrer que l'image réciproque de tout ouvert est un borélien.

par **Houuda** » 02 Déc 2015, 01:14

on a f non continue

par **mrif** » 02 Déc 2015, 01:18

Houuda a écrit:on a f non continue

J'ai vu qu'elle n'était pas continue.

J'ajoute une indication: envisager 2 cas selon que 0 appartient ou non à cet ouvert.

par **Houuda** » 02 Déc 2015, 01:34

qu'est ce que vous pensez de ca ?
je considère la suite de fonction fn définies par fn(x) =x/(x² + n), qui sont continues sur R et converge simplement vers f donc f est borélienne
j essaie mais j arrive pas a montrer que l image réciproque d un ouvert par f est un
borélien :(

par **mrif** » 02 Déc 2015, 02:12

Houuda a écrit:qu'est ce que vous pensez de ca ?
je considère la suite de fonction fn définies par fn(x) =x/(x² + n), qui sont continues sur R et converge simplement vers f donc f est borélienne
j essaie mais j arrive pas a montrer que l image réciproque d un ouvert par f est un
borélien

Si tu as dans ton cours une proposition qui justifie ce que tu affirmes, pourquoi pas?
Mais je pense que l'esprit de l'exercice est d'utiliser les définitions, sinon il y a mieux: f est continue par morceaux donc elle est mesurable.

La tribu borélienne est engendrée par les ouverts. Il suffit donc de montrer que l'image réciproque d'un ouvert est un borélien.

Soit U un ouvert de R.

Si 0 n'appartient pas à U alors

est un ouvert donc borélien
Si 0 appartient à U on peut écrire

où

est un ouvert.

Essaie de continuer.

Correctif: f n'est pas continue par morceaux.

par **Houuda** » 03 Déc 2015, 20:15

Merciiiii beaucoup

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