Problème de conceptualisation de groupes quotients

[David R.]

Bonjour,

J'étudie les groupes fondamentaux et, pendant mon étude, je suis tombé sur une preuve que je n'arrive pas à comprendre. Un théorème stipule que, pour , on a que . La première étape de la preuve consiste à montrer que, lorsque , on a que . Or, dans la preuve, on utilise le résultat suivant : . J'ignore si c'est un problème de visualisation de ma part ou un problème de notation, mais je ne comprends pas comment ces groupes peuvent être isomorphes, le groupe de gauche étant fini et le groupe de droite étant infini. Il me semble que le groupe de gauche est

qui contient éléments, mais le groupe de droite est , qui contient une infinité d'élément (en particulier, ). Est-ce que je visualise mal le groupe de droite?

[Ben314]

Est-ce que je visualise mal le groupe de droite ?

Oui, vu que, par définition du quotient, on a ce qui équivaut à i-j pair et pas à i=j.
Et la preuve de l'isomorphisme est immédiate : cela vient du fait que l'application "canonique" est surjective et a pour noyau .

En fait, en regardant de plus prés, là où tu te gourre, c'est que . Par exemple mais

[Ben314]

Est-ce que je visualise mal le groupe de droite ?

Oui, vu que, par définition du quotient, on a ce qui équivaut à i-j pair et pas à i=j.
Et la preuve de l'isomorphisme est immédiate : cela vient du fait que l'application "canonique" est surjective et a pour noyau .

En fait, en regardant de plus prés, là où tu te gourre, c'est que . Par exemple mais

[David R.]

Oui, vu que, par définition du quotient, on a ce qui équivaut à i-j pair et pas à i=j.
Et la preuve de l'isomorphisme est immédiate : cela vient du fait que l'application "canonique" est surjective et a pour noyau .

En fait, en regardant de plus prés, là où tu te gourre, c'est que . Par exemple mais

Voilà voilà! Merci beaucoup.

[Doraki]

C'est bizarre parceque moi j'utilise que Z^n/2Z^n n'est pas isomorphe à Z^m/2Z^m pour montrer que Z^n n'est pas isomorphe à Z^m alors que toi j'ai l'impression que tu fais l'inverse.

[David R.]

C'est bizarre parceque moi j'utilise que Z^n/2Z^n n'est pas isomorphe à Z^m/2Z^m pour montrer que Z^n n'est pas isomorphe à Z^m alors que toi j'ai l'impression que tu fais l'inverse.

Non, je n'utilise que ça, et ensuite je compte le nombre d'éléments dans chacun des groupes quotients. Mon problème était avec la conceptualisation de ces groupes quotients : je ne les croyais pas finis et ne comprenais pas en quoi l'argument était suffisant.

J'ai une seconde question, reliée à ça. Je suis maintenant convaincu que pour . Je comprends aussi pourquoi pour tout (il suffit d'étudier les éléments d'ordre fini dans chacun des groupes), mais je ne comprends pas pourquoi ça implique que pour . D'après la preuve que je lis, c'est évident (à partir des deux résultats cités), mais ce n'est pas du tout évident pour moi...

[Doraki]

Pourquoi tu continues d'écrire <(2,2,2,...,2)> à la place de 2Z^n et 2Z^m ?

[David R.]

Pourquoi tu continues d'écrire à la place de 2Z^n et 2Z^m ?

Parce qu'ils sont différents, comme l'a mentionné Ben314. Par exemple, , puisque , alors que .