Suite 1è année de fac.

[thibaud]

Bonjour à tous!!

Je bloque sur un exercice sur les suites. Je vous expose le sujet:

"controle d'une population par controle de l'immigration.

On considère une pop. se reproduisant par générations successives. On note P(0) le nombre d'individus de la population initiale; P(n) celui de la pop. à la n-ième génération; k(n) le nombre d'immigrants à la n-ième génération, supposé controlé. On pose:


P(n+1)= (alpha)P(n) + K(n), où alpha est un taux fixe inférieur strictement à 1 et appartenant à [0;1[.


1) On suppose K(n)=K, pour tout n.

a) On pose X(n)= P(n)- K/(1 - alpha). Montrer que X(n+1)= (alpha)X(n) pour tout n.

b) En déduire la limite de la suite (X(n)), puis la limite de la suite P(n)).
Interpréter ce résultat.

2) On suppose maintenant que alpha= 1/2 et que K= (n*K)/2 (n fois K, le tout divisé par deux), avec K un nombre pair fixé.

a) On pose X(n)=P(n)-nK + 2K. Montrer que X(n+1)=X(n)/2 pour tout n.

b) Que vaut lim (P(n)-nK+2K)? Montrer que (P(n)) tend à se comporter comme une suite arithmétique."

Voilà, c'était un peu long (désolé pour l'écriture je ne sais pas comment écrire sous forme mathématiques)

Alors, en fait, j'ai enlever qq questions indépendantes que j'ai réussi à faire.

Pour le 1) a) j'y suis arrivé. par contre pour le b), j'ai trouvé, pour la limite de P(n): K/(1-alpha).

Si c'est bon, comment interpréter celà?

Pour le 2) a), j'y suis aussi arrivé. Par contre, je ne sais pas comment on peut montrer que (P(n)) se comporte comme une suite arithmétique. Pouvez-vous m'aider?


Je vous en remercie par avance.

[Flodelarab]

réécris les questions du 2) en faisant ressortir K(n) et K différemment.
La g l'impression que tout est mélangé

[thibaud]

ok!

"2) a) On pose Xn= Pn - nK + 2K.

Montrer que Xn+1= Xn/2

b) Que vaut lim(Pn-nK+2K) quand n tend vers plus l'infini?
Montrer que Pn tend à se comporter comme une suite arithmétique."


Voilà, je peux pas faire mieux que çà.

[Imod]

Il me semble que Flodelarab parlait plutôt de :

2) On suppose maintenant que alpha= 1/2 et que K= (n*K)/2 (n fois K, le tout divisé par deux), avec K un nombre pair fixé.

Qui devrait ce traduire par : K(n) = (n*k)/2 je suppose .

Imod

[Flodelarab]

ok!

"2) a) On pose Xn= Pn - nK + 2K.

Montrer que Xn+1= Xn/2

b) Que vaut lim(Pn-nK+2K) quand n tend vers plus l'infini?
Montrer que Pn tend à se comporter comme une suite arithmétique."


Voilà, je peux pas faire mieux que çà.

t'as pas repondu a ma question

[thibaud]

On suppose que "alpha= 1/2" et que "Kn= (n/2) fois K" pour tout n où K est un nombre pair fixé.
2) a) On pose Xn= Pn - nK + 2K.

Montrer que Xn+1= Xn/2

b) Que vaut lim(Pn-nK+2K) quand n tend vers plus l'infini?
Montrer que Pn tend à se comporter comme une suite arithmétique

Voilà.
J'ai tout réecris comme il y a sur ma feuille.
Sinon, j'y peux rien si les notations sont comme ça, désolé

[Flodelarab]

Xn= Pn - nK + 2K

Et la? c quel K ?

[thibaud]

Tout ce que je peux te dire c'est que Kn est le nombre d'immigrants à la n-ième génération.
Dans la question 2) il est posé: Kn (une suite)= n/2 fois K
Ce K est un nombre pair fixé, c'est tout.
Si tu le souhaites, nomme le petit k, ca ne changera rien au problème.

[Imod]

Pour la dernière question : montre bien que le comportement de P(n) est comparable à celui de la suite arithmétique de premier terme -2K et de raison K . Pour l'autre limite je trouve comme toi mais je ne vois pas de justification :triste:

Imod

[Imod]

Peut-être en écrivant : .La part initiale de la population est négligeable devant la part liée à l'immigration . La population se réduit donc à K , l'immigration de l'année et l'autre terme un peu plus dur à interpréter qui correspond aux immigrations successives .

Imod

[thibaud]

C'est pas trop grave pour la justification.
Sinon, j'avais trouvé une limite (mais j'étais pas sûr) dans la 2).
J'ai trouvé: lim Pn = lim K(n-2).
Mais sinon, j'ai du mal à voir pourquoi ça se comporte comme une suite arithmétique.

[Imod]

Ton deuxième membre est une suite arithmétique .

Imod

[thibaud]

C'est bon, j'ai compris pour le comportement de la suite Pn.

Merci beaucoup les gars!