Calcul de limite difficile

[Plimpton]

Bonjour ! Quelqu'un saurait-il résoudre ceci ?



La technique de "factoriser par le terme dominant" n'a pas l'air de fonctionner

Merci d'avance !

[remullen2000]

Bonjour,

tu peux par exemple poser y=1/x...

[remullen2000]

Tout dépend de ce que tu connais...

Connais tu la définition de la dérivée?
Connais tu des limites de ton cours par coeur?
Connais tu des développements limités?

(Le plus simple c'est de savoir que e^x=x+1+o(x²) quand x proche de 0. Mais c'est pas du niveau lycée)

Je pense que dans ton cours tu dois avoir appris des limites "de référence"

[Lostounet]

Bonjour,

Je pense que le plus simple est de remarquer le nombre dérivé en 0.
En effet l'étude se ramène à:

2(Exp(y)-1)/(y-0) lorsque y tend vers 0
Et ceci n'est autre que 2*exp'(0)

[Plimpton]

Pour répondre à Remullen, oui, je connais les dérivées, je sais aussi que e^x "domine toutes les puissances" en terme de limites, et faire un changement de variable. Par contre je ne connais pas le e^x=x+1+o(x^2). Quelqu'un saurait-il trouver une démonstration accessible à un élève de terminale ? ^^

[Sake]

Bonjour,

Je pense que le plus simple est de remarquer le nombre dérivé en 0.
En effet l'étude se ramène à:

2(Exp(y)-1)/(y-0) lorsque y tend vers 0
Et ceci n'est autre que 2*exp'(0)

Une façon astucieuse de voir le problème au lycée, et qui ravira le professeur

[Plimpton]

ok, je viens de trouver ça en faisant mes calculs, merci Lostounet :)

[remullen2000]

Donc tu poses comme je t'ai dis y=1/x.

ça fait:

Or par définition de la dérivée on a:



Donc ta fonction tend vers 2.

[Lostounet]

Par contre je ne connais pas le e^x=x+1+o(x^2). Quelqu'un saurait-il trouver une démonstration accessible à un élève de terminale ? ^^

C'est faux
C'est exp(x) = 1 + x + o(x) ou bien exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)

Et en fait c'est tout l'objectif de cet exercice Et ce que tu peux retenir de ta discussion:
lim(exp(x) - 1)/(x) = 1, donc exp(x) - 1 ""tend vers x"" lorsque x tend vers 0

Tu peux écrire exp(x) - 1 = x + ... (grossièrement)
exp(x) = 1 + x + o(x)

Tu peux aller plus loin, par exemple, calcule la limite de:
2(exp(x) - 1 - x)/x^2 lorsque x tend vers 0 :zen:

Cela te permettra de repousser encore plus loin le développement asymptotique de l'exponentielle.

[remullen2000]

C'est faux
C'est exp(x) = 1 + x + o(x) ou bien exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)

Et en fait c'est tout l'objectif de cet exercice Et ce que tu peux retenir de ta discussion:
lim(exp(x) - 1)/(x) = 1, donc exp(x) - 1 ""tend vers x"" lorsque x tend vers 0

Tu peux écrire exp(x) - 1 = x + ... (grossièrement)
exp(x) = 1 + x + o(x)

Tu peux aller plus loin, par exemple, calcule la limite de:
2(exp(x) - 1 - x)/x^2 lorsque x tend vers 0 :zen:

Cela te permettra de repousser encore plus loin le développement asymptotique de l'exponentielle.

exp(x)=1+x+O(x²) (un GRAND TAU)

[Lostounet]

exp(x)=1+x+O(x²) (un GRAND TAU)

petit o implique grand O

Edit: Ah oui avec un x^2 c'est borné ok :p

[Sake]

exp(x)=1+x+O(x²) (un GRAND TAU)

grand O, pas "grand tau"... Un grand tau c'est ça : T

[Lostounet]

grand O, pas "grand tau"... Un grand tau c'est ça : T

C'est un grand t ça : :party:

[Sake]

C'est un grand t ça : :party:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tau

[Lostounet]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tau

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/T_(lettre))
:stupid_in

[Sake]

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/T_(lettre))
:stupid_in

Et qu'est-ce que tu veux me montrer ?

[Lostounet]

Et qu'est-ce que tu veux me montrer ?

Que le tau majuscule et le té majuscule se ressemblent :p

[Sake]

Que le tau majuscule et le té majuscule se ressemblent :p

Oui, je ne dis pas le contraire, mais reste qu'un grand O est un grand O et n'est pas un grand tau. C'est stupide, pourquoi on a ce débat par ailleurs ? ^^

[Plimpton]

Donc à quoi sert ce "o(x)" ? Car en gros, si on écrit ça grossièrement, on a :
(e^x+1)/x~1 quand x tend vers 0 (je sais pas trop comment l'écrire donc je mets un ~)
e^x+1~x
e^x~x+1

Donc d'où sort ce o(x) ? Et que veut-il dire ? (Oui, on change un peu de sujet, je sais :ptdr: )

[tototo]

Bonjour ! Quelqu'un saurait-il résoudre ceci ?



La technique de "factoriser par le terme dominant" n'a pas l'air de fonctionner

Merci d'avance !

Bonjour

Posons X=1/x et f(x)=e^x
Lim(X->0)(f(X)-f(0))/(X-0)=f'(0)=1
Donc la limite vaut 2.