Prouver la positivité d'une expression

[Avitas]

Bonjour je cherche a montrer que (x+1)ln(1+x)-x est positif pour tout x positif mais je ne vois pas du tout comment faire, j'ai d'abord essayé d'étudier le signe en décomposant l'expression mais (x+1)ln(1+x) étant toujours positif et -x toujours négatif je ne peut pas dire grand chose de (x+1)ln(1+x)-x
Du coup j'ai essayé de dériver la fonction et j'ai trouvé xln(1+x)+(x^2+x)/(1+x)-1 mais je n'arrive pas a trouver le signe non plus du coup je ne vois pas trop comment faire et j'aurais bien besoin d'aide
merci d'avance

[Lostounet]

Salut Avitas,
Il faut bien observer la dérivée de f.

f(x) = (x + 1)ln(1 + x) - x

f(0) = 0

Or f(x) = xln(1 + x) + ln(1 + x) - x

f'(x) = ln(1 + x) + x/(1 + x)

Or x/(1 + x) est positif ! Et ln(x + 1) aussi, puisque ln est croissante et ln(1) = 0
Cela veut dire ln(1 + truc) > 0

Ainsi f' positive, et f croissante :)

[Avitas]

merci beaucoup pour ta réponse mais ln(1+x) + x/(1+x) c'est seulement la dérivé de xln(1+x) et pas de f(x) tout entier non ?
parce que moi pour la dérivé de xln(1+x) + ln(1+x) - x je trouve
f'(x) = ln(1+x) + x/(1+x) + 1/(1+x) -1
et du coup c'est le -1 qui me pose problème parce que du coup je ne peut pas dire que f'(x) est positif

[Lostounet]

Salut, excuse-moi j'ai fait une erreur en dérivant.
Pour reprendre,

f(x) = (x + 1)ln(x + 1) - x

f(0) = 0

De plus, f'(x) = ln(x + 1) + (x + 1)/(x + 1) - 1
= ln(x + 1)

Or ln(x + 1) est positif pour tout x >0, cela signifie que f est croissante !

En fait pour ton f', c'est f(x) = xln(x + 1) + ln(1 + x) - x
f'(x) = ln(x + 1) + x/(x + 1) + 1/(x + 1) - 1
= ln(x + 1) + (x + 1)/(x + 1) - 1
= ln(x + 1) + 1 - 1
= ln(x + 1) :)

[Avitas]

ah oui effectivement j'avais pas vu que x/(1+x) et 1/(1+x) avait le même dénominateur c'était tout con en faite ^^
en tout cas merci beaucoup j’étais complétement bloqué a cet exercice