Somme géométrique

[MikeRoss]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour terminer cet exercice :

Une banque verse i = 4 % intérêts par an .

Un client a placé 5000 euros tous les 1er juillet de l’an 2000 à l’an 2018

mais ne verse rien les 3 années suivantes.

Question : calculer la somme S disponible au 1er juillet de l’an 2021


Donc j'ai commencer par ceci

a) de 2000 à 2018 :
5000x(1,04^19 - 1,04^1) / 0,04 = 133356,147 euros en 2018

b) de 2018 à 2021
133356,147 x ?? là je ne trouves pas... je suis sur c'est le plus simple pourtant

[biss]

C'est pas mieux d'expliciter la suite avant de faire la somme ?

[MikeRoss]

c'est à dire ?

[mrif]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour terminer cet exercice :

Une banque verse i = 4 % intérêts par an .

Un client a placé 5000 euros tous les 1er juillet de l’an 2000 à l’an 2018

mais ne verse rien les 3 années suivantes.

Question : calculer la somme S disponible au 1er juillet de l’an 2021


Donc j'ai commencer par ceci

a) de 2000 à 2018 :
5000x(1,04^19 - 1,04^1) / 0,04 = 133356,147 euros en 2018

b) de 2018 à 2021
133356,147 x ?? là je ne trouves pas... je suis sur c'est le plus simple pourtant

Quelle est la formule que tu as utilisée à la question a) ?
Je pense que la formule à appliquer est la suivante:
où a est l'annuité et n le nombre d'années (periodes) de placement.

Si tu n'as pas cette formule dans ton cours, tu dois procéder comme te l'ont conseillé biss et P'tipito , c'est à dire utiliser la suite définie par et . Cela te permettra, en introduisant une suite géométrique, de retrouver la formule que j'ai donnée.


Pour la question b) où S' est la somme capitalisée en juillet 2018.

[MikeRoss]

Quelle est la formule que tu as utilisée à la question a) ?
Je pense que la formule à appliquer est la suivante:
où a est l'annuité et n le nombre d'années (periodes) de placement.

Si tu n'as pas cette formule dans ton cours, tu dois procéder comme te l'ont conseillé biss et P'tipito , c'est à dire utiliser la suite définie par et . Cela te permettra, en introduisant une suite géométrique, de retrouver la formule que j'ai donnée.


Pour la question b) où S' est la somme capitalisée en juillet 2018.

Pour répondre à vos question : ce sont des formules de finance.

a)
5000€ pendant 18 ans tous les ans
plus grand exposant à maximiser =18 (+1)
plus petit exposant inchangé = 1
placement = capitalisation
on a donc
VC= 5000*(1,04^19 - 1,04^1) / 0,04
VC = 133356,147 € acquis en 2018

b) intérêts composés car supérieur à 1 an
133356,147 placés sur 3 ans à un taux de 4% par an

VC = 133356,147*(1,04^3)
VC= 150007,5289 € acquis en 2021

Est-ce correct ?
Je ne saurais pas faire en utilisant les suites Un... Je n'ai jamais été très bon

Je ne comprend pas cette formule, dans mon cours ce n'est pas -1 mais -(1+i)^1

[MikeRoss]

Pour répondre à vos question : ce sont des formules de finance.

a)
5000€ pendant 18 ans tous les ans
plus grand exposant à maximiser =18 (+1)
plus petit exposant inchangé = 1
placement = capitalisation
on a donc
VC= 5000*(1,04^19 - 1,04^1) / 0,04
VC = 133356,147 € acquis en 2018

b) intérêts composés car supérieur à 1 an
133356,147 placés sur 3 ans à un taux de 4% par an

VC = 133356,147*(1,04^3)
VC= 150007,5289 € acquis en 2021

Est-ce correct ?
Je ne saurais pas faire en utilisant les suites Un... Je n'ai jamais été très bon

Je ne comprend pas cette formule, dans mon cours ce n'est pas -1 mais -(1+i)^1

Pour preuve voici mon cours en photo :

[SAGE63]

Bonjour

J'ai lu avec une attention particulière votre cours.

1) CAS DU MODELE PLACEMENT = CAPITALISATION

On a :

Vn = a [ (1,05) ¹;) - (1,05)¹ ] / i

Vn = 200 [ 2,078928179 - 1,05 ] / 0,05
Vn = 200,00 * 1,028928179 / 0,05
Vn = 205,7856 / 0,05
Vn = 4 115,7127

Somme égale trouvée dans le corrigé à savoir 4 115,71

2) AUTRE PROPOSITION DE SOLUTION


Les financiers utilisent la formule suivante :

Vn = a [ (1 + i);) - 1] / i

Il est nécessaire de donner une DEFINITION (la plus exacte possible) de cette formule.

On appelle VALEUR ACQUISE d'une suite d'ANNUITES CONSTANTES, le total exprimé à la date "n", IMMEDIATEMENT après le versement
de le "n ième" et dernière annuité, à cette même date "n".
"Vn" comprend donc cette dernière annuité, MAIS CETTE ANNUITE N'A PAS EU LE TEMPS DE PORTER INTERET.




Nous avons la formule suivante :

Vn = a [ (1,05) ¹;) - 1 ] / i
Vn = 200 [ 1,979931599 -1 ] / 0,05
Vn = 200 [ 0,979931599 ] / 0,05
Vn = 195,9863199 / 0,05
Vn = 3919,726398

Comme dans le problème figurant dans le cours le capital EST RETIRE "UN" AN APRES LE VERSEMENT DE LA DERNIERE ANNUITE, on aura :

a) capital acquis juste après le versement de la dernière annuite le 01/01/2013 3919,726398
b) intérêt de l'année 2013 : 3919,726398 * 0,05 = 195,9863199
c) capital acquis au 01/01/2014 : 3919,726398 + 195,9863199 = 4115,712718
ou encore
3919,726398 * 1,05 = 4115,712718

soit la somme identique à celle figurant sur le corrigé.



3) CONCLUSION


Personnellement c'est la première fois que je vois cette formule appliquée et valable dans une situation financière donnée.
Elle mérite d'être connue et appliquée.

[mrif]

Pour répondre à vos question : ce sont des formules de finance.

a)
5000€ pendant 18 ans tous les ans
plus grand exposant à maximiser =18 (+1)
plus petit exposant inchangé = 1

Le plus petit exposant est 0 car à la 18ème année les 5000 placés en juillet 2018 ne rapportent rien, cela revient à multiplier 5000 par

placement = capitalisation
on a donc
VC= 5000*(1,04^19 - 1,04^1) / 0,04



VC = 133356,147 € acquis en 2018

b) intérêts composés car supérieur à 1 an
133356,147 placés sur 3 ans à un taux de 4% par an

VC = 133356,147*(1,04^3)
VC= 150007,5289 € acquis en 2021

Est-ce correct ?
Je ne saurais pas faire en utilisant les suites Un... Je n'ai jamais été très bon

Je ne comprend pas cette formule, dans mon cours ce n'est pas -1 mais -(1+i)^1

J'ai apporté les corrections en gras à ton texte sans faire les calculs.
En juillet la somme capitalisée est:

.

[MikeRoss]

J'ai apporté les corrections en gras à ton texte sans faire les calculs.
En juillet la somme capitalisée est:

.

Je ne trouves pas les mêmes résultats, et je préfère utiliser la formule donnée dans mon cours... Je ne comprends pas pour quoi vous mettez -1 et pas -taux d'intérêt ...

[SAGE63]

Le JUGE : le tableau de capitalisation


Période *************** Capital début ************ Annuité versée ************* …...Total…….. ***************** Intérêt 4 % an ***************** Capital fin


01/07/2000 *************** xxxxxxxxxxxxxxxxx ******* 5 000,000 ************* 5 000,000 ***************** 200,000 ***************** 5 200,000
01/07/2001 *************** 5 200,000 ************ 5 000,000 ************* 10 200,000 ***************** 408,000 ***************** 10 608,000
01/07/2002 *************** 10 608,000 ************ 5 000,000 ************* 15 608,000 ***************** 624,320 ***************** 16 232,320
01/07/2003 *************** 16 232,320 ************ 5 000,000 ************* 21 232,320 ***************** 849,293 ***************** 22 081,613
01/07/2004 *************** 22 081,613 ************ 5 000,000 ************* 27 081,613 ***************** 1 083,265 ***************** 28 164,877
01/07/2005 *************** 28 164,877 ************ 5 000,000 ************* 33 164,877 ***************** 1 326,595 ***************** 34 491,472
01/07/2006 *************** 34 491,472 ************ 5 000,000 ************* 39 491,472 ***************** 1 579,659 ***************** 41 071,131
01/07/2007 *************** 41 071,131 ************ 5 000,000 ************* 46 071,131 ***************** 1 842,845 ***************** 47 913,977
01/07/2008 *************** 47 913,977 ************ 5 000,000 ************* 52 913,977 ***************** 2 116,559 ***************** 55 030,536
01/07/2009 *************** 55 030,536 ************ 5 000,000 ************* 60 030,536 ***************** 2 401,221 ***************** 62 431,757
01/07/2010 *************** 62 431,757 ************ 5 000,000 ************* 67 431,757 ***************** 2 697,270 ***************** 70 129,027
01/07/2011 *************** 70 129,027 ************ 5 000,000 ************* 75 129,027 ***************** 3 005,161 ***************** 78 134,188
01/07/2012 *************** 78 134,188 ************ 5 000,000 ************* 83 134,188 ***************** 3 325,368 ***************** 86 459,556
01/07/2013 *************** 86 459,556 ************ 5 000,000 ************* 91 459,556 ***************** 3 658,382 ***************** 95 117,938
01/07/2014 *************** 95 117,938 ************ 5 000,000 ************* 100 117,938 ***************** 4 004,718 ***************** 104 122,656
01/07/2015 *************** 104 122,656 ************ 5 000,000 ************* 109 122,656 ***************** 4 364,906 ***************** 113 487,562
01/07/2016 *************** 113 487,562 ************ 5 000,000 ************* 118 487,562 ***************** 4 739,502 ***************** 123 227,064
01/07/2017 *************** 123 227,064 ************ 5 000,000 ************* 128 227,064 ***************** 5 129,083 ***************** 133 356,147
01/07/2018 *************** 133 356,147 ************ 5 000,000 ************* 138 356,147 ***************** 5 534,246 ******* 143 890,393
01/07/2019 *************** 143 890,393 ************ xxxxxxxxxxx ************* 143 890,393 ***************** 5 755,616 ******** 149 646,009
01/07/2020 *************** 149 646,009 ************ xxxxxxxx ************* 149 646,009 ***************** 5 985,840 ***************** 155 631,849
01/07/2021 *************** 155 631,849 ************ xxxxxxxxxxxxxxxx ************* xxxxxxxxxxxxx ***************** xxxxxxxxxxxxx 155 631,849

TOTAL DES VERSEMENTS******** ***************** 95 000,000
TOTAL DES INTERETS *********** ***************** ************ **************** ************* ************** 60 631,849
TOTAL ACQUIS**************** 95 000,000 + 60 631,849 = 155 631,849

[mrif]

Je ne trouves pas les mêmes résultats, et je préfère utiliser la formule donnée dans mon cours... Je ne comprends pas pour quoi vous mettez -1 et pas -taux d'intérêt ...

Justement, j'ai utilisé dans mon dernier post ta formule du cours.
Que dit ta formule?
Elle calcule la capitalisation de chaque mensualité: la première est ,
la deuxième est , et ainsi de suite jusqu'à la dernière.
Cette dernière, la mensualité de juillet 2018, est multipliée par quoi? par 1 c'est à dire , donc le plus petit exposant est 0 et non pas 1.

Ainsi ta formule donne:
.

Avant d'appliquer une formule, à défaut de savoir la retrouver, il faut bien comprendre le sens de tous les termes qui la composent.

Correctif: remplacer mensualité par annuité.