Dénombrement (2)

[mathelot]

"Eugène et Diogène ont l'habitude de se retrouver chaque semaine
autour d'un verre et de décider à pile ou face qui règle l'addition.
Eugène se lamente d'avoir payé les quatre dernières additions, et Diogène, pour faire plaisir
à son ami, propose de modifier exceptionnellement la règle:
"Eugène, tu vas lancer la pièce cinq fois, tu ne payeras que si l'on observe
une suite d'au moins trois piles ou trois faces consécutives".Eugène se félicite d'avoir un si bon ami.
A tort ou à raison ?"

j'ai considéré la partition
PPP
FPPP
FFPPP

j'attribue la proba aux trois évenements
donc
P(Eugene paye)

Malheureseument, le corrigé donne une formule de récurrence (que je ne comprends pas)
et trouve une proba de 1/2 au lieu de 7/16.

Déjà pourquoi mon résultat est faux ?

Merci

PS: je vais écrire le corrigé.

[chan79]

salut
les cas où Eugène paye (3P de suite):
en commençant par PP: PPPFP, PPPPF,PPPFF, PPPPP
en commençant par PF: PFPPP
en commençant par FP: FPPPF,FPPPP
en commençant par FF: FFPPP
soit 8
on multiplie par 2 (échange des P et F)
soit

[chan79]

Enumère les tirages avec trois P consécutifs (il y en a 8)

[beagle]

dans les P
PFPPP paye aussi.

Chan faster.

[chan79]

dans les P
PFPPP paye aussi.

Chan faster.

salut beagle
oui, il fait partie des 8

[nodjim]

Moitié oui.
Sur les 32 cas possibles, un PPPxx par exemple constitue 4 cas dans l'arbre.

[mathelot]

le corrigé:
On jette une pièce n fois.
Notons E_n l'événement "on observe au moins trois piles ou trois faces consécutifs" et sa probabilité.
Il est facile de calculer les trois premières valeurs de la suite:
et

Notons A l'événement "les deux premiers jets donnent deux résultats différents,
B l'événement "les deux premiers jets donnent deux résultats identiques mais différents
du résultat du troisième jet,et enfin C 'événement "les trois premiers jets donnent trois résultats
identiques", de sorte que {A,B,C} forme une partition de l'ensemble fondamental

Pour n >=3 on a



je ne comprend pas d'où vient ces et dans la formule de récurrence.

Merci.

[mathelot]

up.....................

[Doraki]

Ben pour p(En et A) par exemple, ça provient du fait que
l'évènement
(observer au moins 3 piles consécutifs ou 3 faces consécutifs et avoir les 2 premiers résultats différents)
est identique à l'événement
(observer au moins 3 piles consécutifs ou 3 faces consécutifs parmi les n-1 derniers tirages et avoir les 2 premiers résultats différents)

Comme (observer au moins 3 piles consécutifs ou 3 faces consécutifs parmi les n-1 derniers tirages ) et (avoir les 2 premiers résultats différents) sont deux événements indépendants (en effet le deuxième se produit avec probabilité 1/2 quelque soit ce qui se passe pour les tirages qui suivent ; si ça te gêne tu peux imaginer qu'on fait les tirages dans l'autre sens, en partant de la fin)

on en déduit que P(En et A) = P(E'(n-1)) * P(A) = p(n-1) * (1/2)

(où E' c'est comme E mais avec les indices décalés de 1)

[mrif]

[B]
je ne comprend pas d'où vient ces et dans la formule de récurrence.

Merci.

Replace n par 5 pour comprendre à quoi correspondent et .
est la probabilité d'avoir au moins trois piles ou trois faces consécutif si on jette ue pièce 4 fois et est la probabilité d'avoir au moins trois piles ou trois faces consécutifs si on jette ue pièce 3 fois.

[mathelot]

je ne comprend pas dans le cas (A) où deux pièces ont déjà été lancées,
si on a FP en position un et deux par exemple, le 2ème jet conditionne le résultat du 3ème

[aymanemaysae]

M. Mathelot a par le passé aidé beaucoup de gens sur ce site, et c'est avec un grand plaisir que je partage avec lui la solution du problème qu'il essaie de résoudre, et qu'il a presque résolu avec l'aide des autres visiteurs de ce site: j'espère que ce n'est pas un acte qui enfreint la charte du Forum.

[mrif]

je ne comprend pas dans le cas (A) où deux pièces ont déjà été lancées,
si on a FP en position un et deux par exemple, le 2ème jet conditionne le résultat du 3ème

Dans le corrigé on a réparti l'ensemble des issues possibles en 3 catégories:
Les résultats des 2 premiers lancers sont différents (l'événement A)
Les résultats des 2 premiers lancers sont égaux mais différents du résultat du troisième lancer (l'événement B)
Les résultats des 2 premiers lancers sont égaux et égaux au résultat du troisième lancer (l'événement C).

Tu es d'accord que toute issue (de 5 lancers) appartient soit à A soit à B soit à C.

Si tu es convaincu alors

On peut écrire: .
est l'union de 3 événements disjoints donc .
Et c'est à ce stade qu'il faudra introduire les probabilités conditionnelles du corrigé.

Essaie de continuer avec ça et si tu bloques je développerai.

[mathelot]

merci à vous tous. je pense avoir compris.