Enoncé difficile à comprendre en troisième

[maluco]

Bonsoir,
Je dois faire un exercice pour un devoir maison, et je ne comprends pas l'énoncé. Le chapitre actuel est le PGCD. Cet énoncé ne donne qu'un chiffre et je ne peux pas utiliser les méthodes du PGCD; Pourriez-vous m'aider à comprendre?
ENONCE:
Martin a cuit 125 gâteaux. Il les aligne pour les décorer et met une noix sur un gâteaux sur deux, une fraise sur un gâteaux sur trois et une dragée sur un gâteaux sur quatre. Il n'y a rien sur le premier gâteau.Martin les range sur 4 plateaux: -gâteaux sans décoration,-gâteaux avec deux décorations, -gâteaux avec une seule décoration, -gâteaux avec trois décorations.CONSIGNE: Combien y-a-t-il de gâteaux sur chaque plateau?

Merci

[chan79]

salut
Ca dépend de la place des gâteaux où on met la première fraise et la première dragée.

[pianojo]

Heureusement que 124 est divisible par 3 et 4. Si la 1ère fraise est sur le 2e gâteau et que la 1ère dragée est aussi sur le 2e, ça donne le même résultat que s'ils étaient tous deux sur le 3e... ça te mettra peut-être sur la piste. Regarde avec 12 gâteaux... au bout de 12, le "cycle" de décoration recommence.

[titine]

Bonsoir,
Je dois faire un exercice pour un devoir maison, et je ne comprends pas l'énoncé. Le chapitre actuel est le PGCD. Cet énoncé ne donne qu'un chiffre et je ne peux pas utiliser les méthodes du PGCD; Pourriez-vous m'aider à comprendre?
ENONCE:
Martin a cuit 125 gâteaux. Il les aligne pour les décorer et met une noix sur un gâteaux sur deux, une fraise sur un gâteaux sur trois et une dragée sur un gâteaux sur quatre. Il n'y a rien sur le premier gâteau.Martin les range sur 4 plateaux: -gâteaux sans décoration,-gâteaux avec deux décorations, -gâteaux avec une seule décoration, -gâteaux avec trois décorations.CONSIGNE: Combien y-a-t-il de gâteaux sur chaque plateau?

Merci

Mais non il n'y a pas qu'un "chiffre" dans ton énoncé !
Il y a : 1 (une noix) , 2 (un gâteau sur 2) , 3 , 4 et aussi les chiffres 1, 2 et 5 qui permettent d'écrire le nombre 125 !

Je suis d'accord avec pianojo, commence par faire un dessin pour comprendre. Évidemment 125 ça fait beaucoup mais en représentant par exemple les 20 premiers gâteux tu devrais voir ce que ça donne.
Il est vrai que l'énoncé manque de précision car on ne sait pas où il met la 1ere fraise et la 1ere dragée.

[maluco]

Mais non il n'y a pas qu'un "chiffre" dans ton énoncé !
Il y a : 1 (une noix) , 2 (un gâteau sur 2) , 3 , 4 et aussi les chiffres 1, 2 et 5 qui permettent d'écrire le nombre 125 !

Je suis d'accord avec pianojo, commence par faire un dessin pour comprendre. Évidemment 125 ça fait beaucoup mais en représentant par exemple les 20 premiers gâteux tu devrais voir ce que ça donne.
Il est vrai que l'énoncé manque de précision car on ne sait pas où il met la 1ere fraise et la 1ere dragée.

Merci à tous pour vos réponses.Hier après avoir écrit sur le forum j 'ai pensé à dessiner les 125 gâteaux, j 'ai ainsi des résultats mais pas d'explication. J'ai essayé avec n, n+1, n+2... pour les décorations je bloque aussi. Un dessin près de l'énoncé montre la première Fraise sur le troisième gâteau, la première dragée sur le quatrième et la première noix sur le deuxième, comme dit dans l'énoncé.
Bref, je patauge toujours.

[maluco]

Bonsoir Pianojo.
J'ai suivi la piste: j'ai dessiné 12 gâteaux, placé les décorations et compté le nombre de chaque catégorie de plateau.
Sans déco: 4/12, une déco:4/12, deux déco:3/12, trois déco:1/12. J'ai divisé 124 par 12 et multiplié chacun par le résultat; J'obtiens 124,96.
J'ai essayé avec 125/12, j'ai le même résultat. Ceci te paraît-il correct?
Mais il me manque l'essentiel je crois, je n'ai pas l'explication pour justifier le "cycle" de décoration qui reprend tous les 12 gâteaux( à part l'avoir constaté avec les 125 dessins) Cela a-t-il un rapport avec 124 divisible par 3 et 4?
Encore merci pour ton aide.

[chan79]

Bonsoir Pianojo.
J'ai suivi la piste: j'ai dessiné 12 gâteaux, placé les décorations et compté le nombre de chaque catégorie de plateau.
Sans déco: 4/12, une déco:4/12, deux déco:3/12, trois déco:1/12. J'ai divisé 124 par 12 et multiplié chacun par le résultat; J'obtiens 124,96.
J'ai essayé avec 125/12, j'ai le même résultat. Ceci te paraît-il correct?
Mais il me manque l'essentiel je crois, je n'ai pas l'explication pour justifier le "cycle" de décoration qui reprend tous les 12 gâteaux( à part l'avoir constaté avec les 125 dessins) Cela a-t-il un rapport avec 124 divisible par 3 et 4?
Encore merci pour ton aide.

Tu touches au but.
Vois ce qui se passe jusqu'au 120 ième gâteau.
Comme déjà dit, il y a un "cycle" qui se répète.
120=12*10 et 12 est le plus petit multiple commun à 2, 3 et 4.
Ensuite, vois séparément les 5 derniers gâteaux.
Tu peux vérifier ton résultat avec un tableur, éventuellement.

[maluco]

Bonsoir
Merci beaucoup pour votre aide. Chan 79, je pense avoir enfin compris. J'ai refait les calculs avec 120 gâteaux, puis les cinq derniers.
J'espère que ça ira.

[pianojo]

Content que tu te sois débrouillé à partir de nos indices. Comme Chan l'a expliqué, le cycle est bien lié au fait que 12 soit à la fois un multiple de 2, 3 et 4 :
Si le Ne gâteau a une noix, le N+12e aussi car N+12= N+2k avec k=6
Si le Ne gâteau a une fraise, le N+12e aussi car N+12= N+3k avec k=4.
Si le Ne gâteau a une dragée, le N+12e aussi car N+12= N+4k avec k=3.
Donc, si l'on ignore le gâteau sans décoration, le N+12e gâteau est toujours dans le même état que le Ne. Il suffit alors de regarder toutes les possibilités pour les 1ers 13 gâteaux, et de compter sur les 5 premiers, puis sur un cycle de 12, et de multiplier pour avoir les comptes totaux.

Ce problème se généralise facilement. Plus formellement, c'est un problème de PPCM (plus petit commun multiple: calcul très lié au PGCD) : 12 = PPCM(2,3,4). Quand on a N cycles comme ça, le cycle global a toujours pour période le PPCM des cycles.

Si tu veux plus d'informations pour aborder ce type de problème, notamment quand les cycles sont longs, tu peux chercher sur internet "théorème des restes chinois" et "algorithme d'Euclide". L'algorithme d'Euclide est un algorithme de calcul très rapide du PGCD, qui est une étape intermédiaire pour le théorèmes des restes chinois. Il se généralise aux polynômes.

Les algorithmes les plus rapides pour les calculs de PGCD sont des variations astucieuses de cet algorithme qui limitent la taille des données intermédiaires (en calculant avec des restes et en les recombinant par exemple), ou des algorithmes basés sur les nombres p-adiques... que tu aborderas peut-être en fin d'école d'ingénieur ou de fac, ou plus probablement dans des livres ou sur internet si les maths te passionnent.