Resolution equation cosinus

[Dorian_pey]

Bonjour,
J'ai la forte impression de retourner au lycée mais je suis face à un problème qui me tourmente beaucoup !
Je n'arrive pas à résoudre une équation toute bête ou f (x) = cos^2 (x) - cos (x)
J'arrive à trouver la parité, la périodicité ainsi que la dérivée mais après j'arrive à 1-2cos (x) >= 0 et je trouve cos (x) >= 1/2 mais ensuite cos (pi/3) c'est aussi 1/2 mais j'arrive pas à savoir si c'est vraiment juste ! Merci merci

[titine]

Bonjour,
J'ai la forte impression de retourner au lycée mais je suis face à un problème qui me tourmente beaucoup !
Je n'arrive pas à résoudre une équation toute bête ou f (x) = cos^2 (x) - cos (x)
J'arrive à trouver la parité, la périodicité ainsi que la dérivée mais après j'arrive à 1-2cos (x) >= 0 et je trouve cos (x) >= 1/2 mais ensuite cos (pi/3) c'est aussi 1/2 mais j'arrive pas à savoir si c'est vraiment juste ! Merci merci

Je ne comprends pas trop, tu parles d'équation à résoudre, quelle équation ?
As tu une équation à résoudre ou veux tu étudier les variations de la fonction f ?

Si tu veux étudier les variations de f, effectivement tu cherches sa dérivée qui est égale à f'(x) = sinx (1 - 2cosx)
Sur quel intervalle étudies tu la fonction ?
Il faut étudier le signe de f'(x) sur cet intervalle en utilisant un tableau de signes :
signe de (sinx)
signe (1 - 2cosx)
signe du produit.

Comment résoudre 1 - 2cosx 0 c'est à dire cosx ;) 1/2
Si on se place sur [0 ; 2pi[ :
tu traces le cercle trigo .
Tu sais que cos(pi/3) = 1/2.
Tu vois sur ton cercle trigo que cos(x) = 1/2 lorsque x=pi/3 et lorsque x=5pi/3.
Et que cos(x) 1/2 lorsque x appartient à [pi/3 ; 5pi/3]

[Dorian_pey]

Je ne comprends pas trop, tu parles d'équation à résoudre, quelle équation ?
As tu une équation à résoudre ou veux tu étudier les variations de la fonction f ?

Si tu veux étudier les variations de f, effectivement tu cherches sa dérivée qui est égale à f'(x) = sinx (1 - 2cosx)
Sur quel intervalle étudies tu la fonction ?
Il faut étudier le signe de f'(x) sur cet intervalle en utilisant un tableau de signes :
signe de (sinx)
signe (1 - 2cosx)
signe du produit.

Comment résoudre 1 - 2cosx 0

Non en effet je m'embrouille de ce que je dis ! Je chercher à faire une étude complète de f (x), son domaine de définition est R mais pour étudier la dérivée sur [0;pi] je suis d'accord pour le tableau de signe mais pour étudier 1-2cosx >= 0 je trouve cosx>= 1/2 et donc cosx >= cos(pi/3) mais après ? J'ai la correction de l'exercice mais je ne veux pas encore regarder parce que sinon je sais que je ne travaille pas vraiment ! Merci !

[Dorian_pey]

Non en effet je m'embrouille de ce que je dis ! Je chercher à faire une étude complète de f (x), son domaine de définition est R mais pour étudier la dérivée sur [0;pi] je suis d'accord pour le tableau de signe mais pour étudier 1-2cosx >= 0 je trouve cosx>= 1/2 et donc cosx >= cos(pi/3) mais après ? J'ai la correction de l'exercice mais je ne veux pas encore regarder parce que sinon je sais que je ne travaille pas vraiment ! Merci !

Mais parce que cosx est décroissante sur 0;pi on doit changer le signe ?

[titine]

Non en effet je m'embrouille de ce que je dis ! Je chercher à faire une étude complète de f (x), son domaine de définition est R mais pour étudier la dérivée sur [0;pi] je suis d'accord pour le tableau de signe mais pour étudier 1-2cosx >= 0 je trouve cosx>= 1/2 et donc cosx >= cos(pi/3) mais après ? J'ai la correction de l'exercice mais je ne veux pas encore regarder parce que sinon je sais que je ne travaille pas vraiment ! Merci !

1-2cosx >= 0 donne -2cosx >= -1 [COLOR=Red]donc cosx = 1/2 ?

[Dorian_pey]

1-2cosx >= 0 donne -2cosx >= -1 [COLOR=Red]donc cosx = 1/2 ?

Les points du demi cercle qui ont une abscisse inférieur à 1/2 sont situés dans l'intervalle [-1;1/2 [ ; les valeurs de x pour lesquelles cosx <= 1/2 sont dans l'intervalle [pi;pi/3]

[Dorian_pey]

Les points du demi cercle qui ont une abscisse inférieur à 1/2 sont situés dans l'intervalle [0;1/2 [ ; les valeurs de x pour lesquelles cosx >= 1/2 sont dans l'intervalle [pi/3;1]

Je suis bête..on divise par -2 Donc on applique la fonction 1/x donc ça change de signe..c'est ça non..?

[titine]

Je suis bête..on divise par -2 Donc on applique la fonction 1/x donc ça change de signe..c'est ça non..?

Non, on n'applique pas la fonction inverse !
On divise par -2, c'est à dire qu'on multiplie par -1/2.
Autrement dit on applique la fonction : X -> -1/2 * X qui est une fonction affine (et même linéaire) de coefficient directeur négatif, donc décroissante.

A retenir : Lorsqu'on multiplie ou divise les 2 membres d'une inégalité par un même nombre négatif, elle change de sens.

[Dorian_pey]

Non, on n'applique pas la fonction inverse !
On divise par -2, c'est à dire qu'on multiplie par -1/2.
Autrement dit on applique la fonction : X -> -1/2 * X qui est une fonction affine (et même linéaire) de coefficient directeur négatif, donc décroissante.

A retenir : Lorsqu'on multiplie ou divise les 2 membres d'une inégalité par un même nombre négatif, elle change de sens.

Oui c'est bien ce que j'avais compris ! On divise par -2 on multiplie par son inverse 1/x avec x = -2 ? En tout cas merci d'être aussi patient !

[Dorian_pey]

Autrement j'arrive alors à cosx =< 1/2 <-> cosx=< cos (pi/3) et est ce que de la je peux diviser par cos ?

[biss]

Autrement j'arrive alors à cosx = cosx=< cos (pi/3) et est ce que de la je peux diviser par cos ?

x inferieur ou = a pi/3
quand tu dis diviser par cos c pas juste meme si je vois d'ou tu veux en venir

[Dorian_pey]

x inferieur ou = a pi/3
quand tu dis diviser par cos c pas juste meme si je vois d'ou tu veux en venir

Justement, en voulant comprendre j'ai utilisé une application qui fait un tableau de variation de 1-2cos (x) et qui trouve que c'est positif après pi/3 ! Donc x >=pi/3 et je n'arrive pas à comprendre comment ça se fait ! Faut il résoudre peut etre resoudre comme quand on a cosx= cos a

[titine]

Autrement j'arrive alors à cosx = cosx=< cos (pi/3) et est ce que de la je peux diviser par cos ?

Horreur !
Ce n'est pas cos * x mais cos(x).
cos est une fonction !
Quand tu as f(x) < f(2) ça ne signifie pas que x < 2 (à moins que la fonction f soit croissante)

La bonne méthode pour résoudre une inéquation trigonométrique c'est d'utiliser le cercle trigo.
Comme je te le dis plus haut :

Tu as dit que tu te places sur [0 ; pi] donc sur le demi cercle trigo du haut.
Traces ton cercle. Place sur le cercle pi/3 qui a pour cosinus 1/2, c'est à dire le point du demi cercle supérieur qui a pour abscisse 1/2.
Quels sont les points du demi cercle qui ont une abscisse inférieure à 1/2 ?
Donc quelles sont les valeurs de x pour lesquelles cos(x) <= 1/2 ?

[biss]

Justement, en voulant comprendre j'ai utilisé une application qui fait un tableau de variation de 1-2cos (x) et qui trouve que c'est positif après pi/3 ! Donc x >=pi/3 et je n'arrive pas à comprendre comment ça se fait ! Faut il résoudre peut etre resoudre comme quand on a cosx= cos a

bah c'est exactement ca
suis ce que titine a dit tu trouvera le meme resultat

[Dorian_pey]

Horreur !
Ce n'est pas cos * x mais cos(x).
cos est une fonction !
Quand tu as f(x) < f(2) ça ne signifie pas que x < 2 (à moins que la fonction f soit croissante)

La bonne méthode pour résoudre une inéquation trigonométrique c'est d'utiliser le cercle trigo.
Comme je te le dis plus haut :

Il a donc pi/2 2pi/3 3pi/4 5pi/6 ? Leur abscisse est inférieur à 1/2

[Dorian_pey]

Il a donc pi/2 2pi/3 3pi/4 5pi/6 ? Leur abscisse est inférieur à 1/2

J'ai compris ! On exprime alors x>= pi/3 ! Merci beaucoup ! !

[titine]

J'ai compris ! On exprime alors x>= pi/3 ! Merci beaucoup ! !

Sur l'Intervalle [0; pi] , cos (x) 1/2 pour tout x appartenant à [pi/3 ; pi]