Comparé deux nombres

par **robtheo** » 21 Nov 2015, 13:27

Bonjour à tous, je suis en première S et la prof nous a posé le problème suivant : comparé les deux nombres suivant (dire lequel est le plus petit etc...) sans les calculer. La "démonstration" (j'insiste sans calcule) ne devrait pas prendre plus de 4 ou 5 lignes. Avez vous une idée de comment faire ? Car je vous avoue que personnellement je bloque ^^
Les nombres a comparé : http://m.imgur.com/tpEFNAN

Bonne réflexion !

par **Lostounet** » 21 Nov 2015, 13:32

Bonjour,

N'y aurait-il pas un 3^2 en bas dans le 2e nombre ? Pour que ce soit plus "fun"?

par **Lostounet** » 21 Nov 2015, 13:43

edit: ca ne marche pas

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 13:44

A ta place, je remplacerais les valeurs numériques par a,b,c.

par **pianojo** » 21 Nov 2015, 13:58

2 lignes suffisent (avec le 3²): le développement de la 1ère formule donne la 2e ainsi que des doubles produits tous positifs, donc le 1er nombre est plus grand que le 2e (aucun calcul)

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 14:18

En es tu bien sûr Pianojo ?

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 14:20

Il n'y a pas besoin de 3² dans la seconde expression.

par **robtheo** » 21 Nov 2015, 14:21

Les deux nombres sont bien ceux présent dans le lien, il n'y a pas de 3^2 c'est justement ça qui rend la tache complexe car on ne peut pas prouvé le résultat par le calcul

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 14:25

On peut, mais fais comme je t'ai conseillé.

par **zygomatique** » 21 Nov 2015, 14:42

salut

les doubles produits (du développement) du carré de la somme sont tous supérieurs à 9

car 3,1 pi et R(10) sont supérieurs à 3 (en fait un seul suffit d'ailleurs ... en disant qu'ils sont positifs)

donc le premier nombres est supérieurs au deuxième ...

:zen:

par **chan79** » 21 Nov 2015, 16:02

salut
Le nombre du haut est plus petit que celui du bas.
Je remplacerais par des lettres, comme nodjim.

par **zygomatique** » 21 Nov 2015, 16:47

ha merde ... j'ai oublié un truc ... :marteau:

hou comme c'est vicieux ... :ptdr:

mais une variance étant positive (puisqu'on en prend la racine pour avoir l'écart type :lol3: ) alors on en déduit que la moyenne des carrés est supérieure au carré de la moyenne

:ptdr:

par **chan79** » 21 Nov 2015, 17:03

En remplaçant, on obtient dans la grande parenthèse de la première ligne:

qui est négatif

On a l'égalité si a=b=c

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 17:14

Peut être plus simple.
(a+b+c)²/9-(3a²+3b²+3c²)/9 > ? 0
-2a²-2b²-2c²+2ab+2bc+2ac > ? 0
ab+bc+ac > ? a²+b²+c²
Soit a, b=a+x, c=a+y convention a< b< c
a(a+x)+(a+x)(a+y)+a(a+y) > ? a²+(a+x)²+(a+y)²
3a²+ 2a(x+y) +xy > ? 3a²+2a(x+y)+x²+y²
xy > ? x²+y²
comme (x-y)² > 0 alors x²+y²> 2xy
xy > ? x²+y² réponse: NON donc la seconde expression est plus grande que la 1ère.

par **zygomatique** » 21 Nov 2015, 18:15

trop de calculs ... je n'en fais aucun .... :ptdr: ... :langue2: :king2:

par **chan79** » 21 Nov 2015, 18:40

Autre façon (si on n'a pas vu les formules sur les statistiques)
on pose

Comme l'expression de départ est positive, on a le résultat.

par **zygomatique** » 21 Nov 2015, 19:42

ben c'est exactement ce que je dis ... et que tu prouves ... en détaillant ....

par **nodjim** » 21 Nov 2015, 19:50

Là c'est court et élégant, plus recherché, et plus en rapport avec les problèmes sur les inégalités. J'adopte.

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