Ex sur la périodicité

[pianojo]

Matt, ma réponse était un peu trop brève, et je m'excuse si je n'ai pas été clair, mais je n'ai pas dit que |cos(t)|= cos(t) ou que |cos(t/2)|=cos(t/2), juste que le signe était incorrect à la fin de la dernière ligne de la page manuscrite. Si tu as une égalité, tu peux toujours appliquer la même fonction des deux côté, et l'égalité reste vraie sur le domaine de définition. Tu peux t'en convaincre en regardant les signes des deux côtés pour chaque quadrant. Crois-moi, j'ai beau avoir passé mon diplôme d'ingénieur il y a plus de 20 ans, j'en fais toujours régulièrement, et je fais rarement des erreurs sur les valeurs absolues.

[Matt_01]

Matt, ma réponse était un peu trop brève, et je m'excuse si je n'ai pas été clair, mais je n'ai pas dit que |cos(t)|= cos(t) ou que |cos(t/2)|=cos(t/2), juste que le signe était incorrect à la fin de la dernière ligne de la page manuscrite. Si tu as une égalité, tu peux toujours appliquer la même fonction des deux côté, et l'égalité reste vraie sur le domaine de définition. Tu peux t'en convaincre en regardant les signes des deux côtés pour chaque quadrant. Crois-moi, j'ai beau avoir passé mon diplôme d'ingénieur il y a plus de 20 ans, j'en fais toujours régulièrement, et je fais rarement des erreurs sur les valeurs absolues.

Je n'ai pas mis en cause la véracité de ce que tu as écrit, mais vu que tu lui précisais que cos(x+2pi)=cos(x), ça m'a fait que tu croyais que la fonction était tout simplement |cos|, d'où ma remarque sur l'oubli du 1/2.

[vovic]

dite mois s'il vous plaît si f est une fonction continu et g est en aussi, l'adition, le produit et la composition de ces 2 serait aussi une fonction continu?
Merci

[SLA]

J'suis pas trop d'accord là dessus.
D'une part (et c'est mon argument majeur), je pense que l'exercice en question était "montrer que f 2pi périodique".
D'autre part, certes pour les fonctions continues on peut déterminer la plus petite période, mais dans le cas général, si une fonction non continue est 1 périodique et pi périodique, il n'y a aucune raison de faire primer la 1 périodicité, sachant que ces deux périodicités sont alors en quelque sorte "indépendantes" (j'ai pas cherché à savoir s'il en existe réellement de telles sortes qui ne soient pas constantes, mais je pense).

Salut,
Un élément de réponse à cette question. Soit f une fonction de R dans R.
On considère alors , on vérifie aisément que G est un sous-groupe additif de R. On sait alors que G est soit monogène ( avec ), soit dense dans R.
Si tu as une fonction qui est à la fois 1-périodique et pi-périodique (de manière générale si une période n'est pas un multiple entier de l'autre) alors G est dense. Si tu supposes de plus que f est continue, alors elle constante.

Donc quand on prends une fonction continue et périodique non triviale, on dit qu'un élément de G est une période de f, et on désigne par LA période de f, le générateur positif de G.

Cordialement

EDIT: et dire que f est T-périodique c'est exactement dire que T est UNE période de f.

[chan79]

Dans l'exemple donné, on vérifie facilement que est une période.
Maintenant, si T est une période,
f(T)=f(0)=1
soit cos(T/2)=1 ou -1
soit T/2=k
soit T=k
est donc bien la plus petite période strictement positive

[Matt_01]

Salut,
Un élément de réponse à cette question. Soit f une fonction de R dans R.
On considère alors , on vérifie aisément que G est un sous-groupe additif de R. On sait alors que G est soit monogène ( avec ), soit dense dans R.
Si tu as une fonction qui est à la fois 1-périodique et pi-périodique (de manière générale si une période n'est pas un multiple entier de l'autre) alors G est dense. Si tu supposes de plus que f est continue, alors elle constante.

Donc quand on prends une fonction continue et périodique non triviale, on dit qu'un élément de G est une période de f, et on désigne par LA période de f, le générateur positif de G.

Cordialement

EDIT: et dire que f est T-périodique c'est exactement dire que T est UNE période de f.

C'est précisement pour ca que j'ai dit "certes pour les fonctions continues" (et en fait j'en ai parlé avant, un seul point de continuité permet de conclure "2 périodes sans multiple commun" => "f constante").

[vovic]

Pour la suite de l'exercice veuillez s'il vous plait m'aiguiller dans les demarches



soit il suffit de dire que si f est paire alors les fonctions t-->f(t)cos(nt) sont paires et les fonctions t-->f(t)sin(nt) sont impaires on a donc bn=0 pour tout n

[SLA]

C'est précisement pour ca que j'ai dit "certes pour les fonctions continues" (et en fait j'en ai parlé avant, un seul point de continuité permet de conclure "2 périodes sans multiple commun" => "f constante").

Je vois bien que tu sais de quoi tu parles, je voulais juste en dire un peu plus.

Pour la suite de l'exercice veuillez s'il vous plait m'aiguiller dans les demarches

[...]

soit il suffit de dire que si f est paire alors les fonctions t-->f(t)cos(nt) sont paires et les fonctions t-->f(t)sin(nt) sont impaires on a donc bn=0 pour tout n

Je pense qu'il est attendu d'utiliser la parité (donc ta deuxième proposition).

[vovic]

SLA s'il te plait tu pourras me repondre a la question ou est la faute? dans le fichier joint

[Black Jack]

Oui mais on peut parler de "période la plus petite possible" seulement dans le cadre des fonctions continues (à vrai dire l'hypothèse peut sûrement être beaucoup plus générale, genre un point de continuité suffit).
Une question du type : "Trouver la période de cette fonction" est pour moi incorrecte, et donc quoi qu'il arrive, trouver la plus petite est censé être indiqué dans la question.

C'est peut être "incorrect" pour un matheux mais pas du tout pour un Physicien.

Le fameux f = 1/T tant utilisé en physique n'est utilisable que si T est est la plus petite valeur strictement positive ...
La période d'un signal 50 Hz est 20 ms et rien d'autre. Pas question de prendre T = 10 s pour ce sigal bien que ce soit UNE période possible et dire que sa fréquence est f = 1/T = 1/10 = 0,1 Hz.


Pour un Physicien, une signal f(t) = constante n'est pas périodique ... puisqu'il n'existe pas de plus petite valeur strictement positive de T telle que f(t) = f(t + T) alors qu'un matheux ne voit les choses ainsi.

En physique, on fait en général, la distinction entre UNE période de f(t) et La période de f(T) qui est la plus petite valeur strictement positive de T telle que f(t) = f(t + T)
Et quand on dit, par exemple, que f(t) est 2Pi périodique ... c'est toujours (en Physique) de la plus petite valeur strictement positive dont il est question.

Et donc, la définition de la périodicité n'est pas la même pour les matheux que pour les physiciens... même si certains s'en défendent.

Même si la question est ici posée sur un site de Math, mon esprit tourné vers la Physique ne pouvait pas ne pas relever ce "détail" qui est loin d'en être un.

Mais je ne vais sûrement pas me battre avec les matheux pour les faire changer d'avis.

Le jour où tous utiliseront une même définition pour une "même" notion n'est pas pour demain.
Chacun pensant évidemment que c'est LA définition qu'il utilise la bonne à l'exclusion de toute autre.

:zen:

[SLA]

C'est peut être "incorrect" pour un matheux mais pas du tout pour un Physicien.

Le fameux f = 1/T tant utilisé en physique n'est utilisable que si T est est la plus petite valeur strictement positive ...
La période d'un signal 50 Hz est 20 ms et rien d'autre. Pas question de prendre T = 10 s pour ce sigal bien que ce soit UNE période possible et dire que sa fréquence est f = 1/T = 1/10 = 0,1 Hz.

Salut,
Je crois que tu vois un problème où il n'y en a pas. Quand on parle de LA période, on veut dire la plus petite période strictement positive. LA fréquence étant alors définie comme l'inverse de LA période, aucun matheux ne dira qu'un signal de 50Hz est un signal de 0.1 Hz.
Par ailleurs ce problème de détermination des fréquences peut être rencontré expérimentalement quand on fait des mesures avec un stroboscope (quand on démarre à une fréquence plus petite que celle qu'on veut observer).

Pour un Physicien, une signal f(t) = constante n'est pas périodique ... puisqu'il n'existe pas de plus petite valeur strictement positive de T telle que f(t) = f(t + T) alors qu'un matheux ne voit les choses ainsi.

Le problème serait plutôt que si on a une fonction constante non-nulle, elle corresponds à une énergie infinie (ça les physiciens aiment pas). Mais comme les modèles où on parle de fonctions définie en tout temps t ne sont pas physiques, on retombe tous sur nos pattes.

Bref, je pense qu'on parle bien de la même chose. Sauf que les physiciens ont peut-être plus besoin de LA période. Du coup, la phrase "f est T périodique" signifie en maths "T est une période de f" alors qu'en physique c'est "T est LA période de f". Sur le reste, on est d'accord (et ouf).

SLA s'il te plait tu pourras me repondre a la question ou est la faute? dans le fichier joint

Si tu remplaces par , tu pourras mener tes calculs et sera laborieux, a moins de dire que la fonction que tu intègres est impaire.
Par ailleurs, ton erreur est que ne donne pas

[Black Jack]

La fonction f(t) = |cos(t/2)| est continue sur R.

cos(t/2) = 0 pour t/2 = Pi/2 + k.Pi, soit pour t = Pi + 2k.Pi

Donc entre 2 passages successifs à 0 de cos(t/2), il y a une durée = 2.Pi

Et pareillement : entre 2 passages successifs à 0 de |cos(t/2)|, il y a une durée = 2.Pi

La période de f(t) = |cos(t/2)| ne peut donc pas être pas être inférieure à T = 2Pi. (mais jusqu'ici, rien ne prouve que T = 2Pi est bien une période de f(t), mais seulement que si T = 2Pi est une période alors c'est la plus petite strictement positive)

*****

cos((t + 2Pi)/2 = cos(t/2 + Pi) = -cos(t/2)

On a donc |cos((t + 2Pi)/2| = |cos(t/2)| qui indique que T = 2Pi est bien une période de f(t) = |cos(t/2)|

Or il a été montré avant que T ne pouvait pas être < 2 Pi

--> la plus petite valeur strictement de T telle que f(t) = f(t+T) (avec f(t) = |cos(t/2)|) est T = 2Pi

La fonction f(t) = |cos(t/2)| est 2Pi périodique. (et uniquement 2Pi périodique pour un Physicien, alors qu'elle est aussi 4Pi ou 132Pi ou 1569876Pi périodique ou ... par exemple pour un matheux).

:zen:

[vovic]

SLA regarde s'il te plait

donc on a cos(t/2) pout -pi<=t<=pi
Merci

[vovic]

Pour la question 2.b.


voici comment j'aborde, mais à la fin sa reste complexe

[pianojo]

@Moulou: cos(x+pi)=-cos(pi). De même, sin(x+pi)=-sin(x). On a donc aussi tan(x+pi)=sin(x+pi)/cos(x+pi)=tan(x), quand elle est définie. Regarde l'interprétation géométrique pour t'en convaincre. Si tu connais la formule du cosinus de la somme, cela le montre aussi: applique cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) pour b=pi.

[vovic]

c'est bine sa ou pas???, j'ai besoin de votre aide

[pianojo]

Pas mal. Juste un petit détail : plutôt que de séparer l'intégrale en somme de 2 intégrales, garde une seule intégrale partout. C'est une bonne habitude à prendre, pour des histoires d'existence d'intégrale (l'intégrale d'une somme peut être définie alors que l'intégrale de chaque membre ne l'est pas. Ce n'est pas le cas ici, mais il faudrait le justifier).

Sinon, c'est bien, le résultat me parait juste . Si c'est un devoir, soigne l'orthographe : "calculs" ne prend pas de "e" ici (quand il y a un "e", c'est le verbe, pas le nom).

[vovic]

Pas mal. Juste un petit détail : plutôt que de séparer l'intégrale en somme de 2 intégrales, garde une seule intégrale partout. C'est une bonne habitude à prendre, pour des histoires d'existence d'intégrale (l'intégrale d'une somme peut être définie alors que l'intégrale de chaque membre ne l'est pas. Ce n'est pas le cas ici, mais il faudrait le justifier).

Sinon, c'est bien, le résultat me parait juste . Si c'est un devoir, soigne l'orthographe : "calculs" ne prend pas de "e" ici (quand il y a un "e", c'est le verbe, pas le nom).

Merci Pianojo

[Matt_01]

Et au passage : que vaut cos(n*pi) (en fonction de n) ?

[vovic]

Et au passage : que vaut cos(n*pi) (en fonction de n) ?

+1 pour n-paire
-1 pour n-impaire