QCM Suites - TS.

[Combattant204]

Bonjour tout le monde!
J'ai DS demain qui sera un QCM et me voila entrain de faire un de mon livre.

Justifier vos choix:

1) Soit la suite U definie par son premier terme U0 et pour tout n de N,Un+1 = 0,5Un + 3:

a.Si la suite U converge, sa limite est 6.
b.Si U0 E [0 ; 6],la suite U est croissante.
c.Si U0 E [6; +OO],la suite U est minoree.
d.La suite (Un - 3/2) est geometrique.

Pour la a) je n'ai aucune idee comment trouver une limite.
b) et c) je conjecture avec la calculatrice? mais ca sera pas justifier,j'ai rien montre comment faire?
d) comment obtenir U en function de n?

2) Soit U la suite definie par U0 = 1,5 et Un+1 = f(Un) ou f est definie sur I = ]-OO ; 3[ par
f(x) = 2/(3 - x)

a. f est croissante sur I.
b.U est croissante.
c.U est bornee par 1 et 2.
d.Si U converge vers l,alors l = 2/(3 - l)

a.Non c'est decroissant.
b.Est ce qu'il faut tracer pour savoir ou y a autre moyen?
c.Comment savoir?
d.Expliquer c'est quoi ce raisonnement..

Merci d'avance!

[Lostounet]

1) Soit la suite U definie par son premier terme U0 et pour tout n de N,Un+1 = 0,5Un + 3:

a.Si la suite U converge, sa limite est 6.
b.Si U0 E [0 ; 6],la suite U est croissante.
c.Si U0 E [6; +OO],la suite U est minoree.
d.La suite (Un - 3/2) est geometrique.

a. Si on passe à la limite dans l'égalité, en supposant que U converge vers un nombre L,

Alors L = 0.5 *L + 3
0.5L = 3
L = 6 Vrai !

b. Supposons U0 E [0 ; 6]

Quel est le signe (Un - Un+1)?
Un - (0.5Un + 3) = 0.5Un - 3

Or Si 0<= U0 <= 6
0 <= 0.5U0 + 3 <= 6
0<= U1 <= 6 ..... (récurrence simple) 0<= Un <= 6
et 0<= 0.5Un <= 3
0<= 0.5Un - 3<= 0

Que cela signifie-t-il?
Vrai.

c. Suppose U0 > 6
U1 = 0.5U0 + 3 > 6... Un > 6
Alors?

d. Pose Vn la nouvelle suite, et vérifie si Vn+1 = k*Vn avec k un nombre non nul

[Combattant204]

1) Soit la suite U definie par son premier terme U0 et pour tout n de N,Un+1 = 0,5Un + 3:

a.Si la suite U converge, sa limite est 6.
b.Si U0 E [0 ; 6],la suite U est croissante.
c.Si U0 E [6; +OO],la suite U est minoree.
d.La suite (Un - 3/2) est geometrique.

a. Si on passe à la limite dans l'égalité, en supposant que U converge vers un nombre L,

Alors L = 0.5 *L + 3
0.5L = 3
L = 6 Vrai !

b. Supposons U0 E [0 ; 6]

Quel est le signe (Un - Un+1)?
Un - (0.5Un + 3) = 0.5Un - 3

Or Si 0 6
U1 = 0.5U0 + 3 > 6... Un > 6
Alors?

d. Pose Vn la nouvelle suite, et vérifie si Vn+1 = k*Vn avec k un nombre non nul

Bjr! pardon de repondre que maintenant,je m'y suis endormi honnetement..
Mon Ds est en quelques minutes svp aidiez moi plus vite possible.

Pour la a)pour quoi c'est 6?
Si je suis votre raisonnement L = 0,5L + 3
-0,5L = 3
L = -6

b)Pourqoui avez vous fais Un - Un+1 et pas Un+1 - Un?
ca signifie que Un a pour limite 6 y autre chose?

d) ok compris l'idee

Je comprend pas bien ce que vous voulez dire en c.

svp aidiez moi encore pour la question 2 aussi merci!!

[titine]

Bjr! pardon de repondre que maintenant,je m'y suis endormi honnetement..
Mon Ds est en quelques minutes svp aidiez moi plus vite possible.

Pour la a)pour quoi c'est 6?
Si je suis votre raisonnement L = 0,5L + 3
-0,5L = 3 Non ! Ça fait +0,5L = 3 !
L = -6

b)Pourqoui avez vous fais Un - Un+1 et pas Un+1 - Un? C'est pareil ! Soit tu montres que U(n+1) - U(n) > 0 , soit que U(n) - U(n+1) U(n) , soit que U(n) = 6 alors U(n) >= 6 Donc la suite est minorée par 6.

svp aidiez moi encore pour la question 2 aussi merci!!

Je vais maintenant regarder la question 2.

[titine]

2) Soit U la suite definie par U0 = 1,5 et Un+1 = f(Un) ou f est definie sur I = ]-OO ; 3[ par
f(x) = 2/(3 - x)

a. f est croissante sur I.
b.U est croissante.
c.U est bornee par 1 et 2.
d.Si U converge vers l,alors l = 2/(3 - l)

a.Non c'est decroissant. Non elle est croissante sur I car f'(x) = -(-2)/(3-x)² = 2/(3-x)² > 0
b.Est ce qu'il faut tracer pour savoir ou y a autre moyen?
Tu peux faire calculer les premiers termes par la calculatrice. La suite semble décroissante. Puis on le démontre.
Par récurrence :
On constate facilement que U1 < U0
Puis on suppose que U(n+1) < U(n)
Comme f est croissante elle conserve l’ordre donc : f(U(n+1)) < f(U(n))
C'est à dire U(n+2) < U(n+1)
Ce qui prouve que la propriété est héréditaire.
c.Comment savoir?
Toujours en observant les premiers termes à la calculatrice ça semble vrai , puis démo par récurrence :
On a bien 1 < U0 < 2
On suppose 1 < U(n) < 2
f est croissante donc : f(1) < f(U(n)) < f(2)
C'est à dire f(1) < U(n+1) < f(2)
Or f(1) = 1 et f(2) = 2
Donc : 1 < U(n+1) < 2
Ce qui prouve l'hérédité.
d.Expliquer c'est quoi ce raisonnement..

U(n+1) = f(U(n)) = 2/(3 - U(n))
Si (Un) converge vers une limite l alors :
lim U(n+1) = l
et lim 2/(3 - U(n)) = 2/(3 - l)
Donc, comme U(n+1) = 2/(3 - U(n)) , par passage à la limite , on a : l = 2/(3 - l)

C'est ok ?