Inégalité avec l'indicatrice d'Euler

[Suzet]

Bonjour,

Je cherche à montrer que pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, l'inégalité suivante est vraie :
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où représente l'indicatrice d'Euler évaluée en k.
Je connais l'expression générale de l'indicatrice d'Euler, évaluée en un entier k. Cependant, après moult essais, je ne parviens pas à trouver les bonnes minorations qui me permettraient de conclure.

Auriez-vous une piste à me proposer ?

En vous remerciant.

[aymanemaysae]

En cherchant, j'ai seulement trouvé ce lien ou on parle de la somme en question:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

[zygomatique]

salut

par récurrence .... peut-être ? en utilisant la dernière relation de https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler#Calcul et en minorant le produit par 1/2 ...

[Suzet]

J'ai bien sûr déjà envisagé la démonstration par récurrence, mais elle est problématique.
On ne peut en effet pas toujours minorer le produit auquel vous faites référence par 1/2. Il suffit par exemple, dans l'hérédité, de tomber sur un "n+1" qui soit à la fois multiple de 2 et de 3 pour que le produit soit inférieur à 1/2. En fait, c'est le cas pour tout entier pair qui n'est pas une puissance de 2.