Exercices sur les nombres complexes

[diabo]

Bonjour à tous ! J'ai un exercice sur les complexes mais j'ai une question ...

Je dois déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z=x+iy où x et y sont des réels, tels que le point associé M' soit sur l'axe des réels.
Au début de l'exercice on nous donne : z' = z^2 + 4z + 3

J'ai donc remplacé z par x+iy ce qui donne : x^2 - y^2 + 4x + 3 + i(2xy + 4y)
Comme les points M doivent être réels alors Im(z) = O <=> 2xy+4y = 0
y=0 x=-2

Mais après je ne sais pas interpréter ce résultat ...

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne soirée.

[JaCQZz]

EDIT: le premier y avait été pris pour le 1.

[diabo]

Ah d'accord merci !

Et j'ai une autre petite question parce que cette fois je trouve -x^2 - x -y^2 -2y = 0
Je crois que l'ensemble ça va être un cercle mais pouvez-vous me dire comment à partir de cette formule on trouve l'équation d'un cercle ?

[JaCQZz]

Dans le plan orthonormé, le cercle de centre et de rayon R est l'ensemble des points M situé à une distance R du centre et alors on a : puis par identification avec ton expression une fois cette expression-ci développée, tu trouves ce que vaut le couple de réels : .

[Pisigma]

Ah d'accord merci !

Et j'ai une autre petite question parce que cette fois je trouve -x^2 - x -y^2 -2y = 0
Je crois que l'ensemble ça va être un cercle mais pouvez-vous me dire comment à partir de cette formule on trouve l'équation d'un cercle ?

Bonsoir,

L'équation générale est ;cercle de centre et de rayon

[Lostounet]

est une équation du type: . C'est l'équation d'une droite.

Je ne vois pas comment tu passes de 2xy+4y = 0 à y = -x/2 ?

Tu veux que z' soit réel?

Si c'est cela alors (je fais confiance aux calculs), tu dois avoir y(2x + 4) = 0
donc y = 0 ou bien x = -2
Cela signifie que M doit se situer soit sur l'axe des abscisses soit sur la droite x = -2

A moins que JACQZz puisse nous expliquer ?

Pour ton cercle, -x^2 - x -y^2 -2y = 0, donc x^2 + x + y^2 + 2y = 0,
On ajoute d'abord 1 aux deux membres afin de faire apparaitre une identité remarquable en y:

x^2 - x + y^2 + 2y + 1 = 1

Donc:
x^2 - x + (y + 1)^2 = 1

Ensuite constate que x^2 - x = (x)^2 - 2*x*(1/2)
On peut donc ajouter et retrancher 1/4:

x^2 + x + 1/4 - 1/4 + (y + 1)^2 = 1

(x + 1/2)^2 + (y + 1)^2 - 1/4 = 1

Donc (x + 1/2)^2 + (y + 1)^2 = 5/4

[diabo]

Merci Loustounet !

Pour la première question avec la droite je trouvais aussi y=0 et x=-2 mais je ne savais pas à quelle droit ça correspondait

[Lostounet]

Et maintenant tu sais ? :ptdr:

[diabo]

Je n'ai pas très bien compris comment on en déduisait la droite ... :hein:

[Lostounet]

Moi non plus figure-toi :ptdr:

Je trouve que y = 0 et x = -2

[diabo]

Ah bon bah tant pis :we: