Montrer que(a²+b²)(c²+d²) est somme de 2 carrés

[Eskoris]

Bonjour,

Voilà je cherche comment faire pour démontrer cette propriété: (a²+b²)(c²+d²). Si quelqu'un voit le début de ce qu'il faut faire, alors qu'il le fasse partager.

Merci

[mathelot]

connais tu les nombres complexes ?

[aymanemaysae]

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 = (a^2 c^2 + b^2 d^2) + (a^2 d^2 + b^2 c^2)
= (a^2 c^2 + b^2 d^2 + 2 abcd) + (a^2 d^2 + b^2 c^2 - 2 abcd) = (ac + bd)^2 +(ad - bc)^2

[Eskoris]

connais tu les nombres complexes ?

Cependant, j'obtient
(a²+b²)(c²+d²) = ac+aid+ibc-bd+ac-ida-ibc-bd = 2ac - 2bd
Comment montre-t-on que cela est somme de 2 carrés ?

[Robot]

Cependant, j'obtient
(a²+b²)(c²+d²) = ac+aid+ibc-bd+ac-ida-ibc-bd = 2ac - 2bd
Comment montre-t-on que cela est somme de 2 carrés ?

Tu as dû te fourvoyer.
Pose , , et utilise .

[Eskoris]

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 = (a^2 c^2 + b^2 d^2) + (a^2 d^2 + b^2 c^2)
= (a^2 c^2 + b^2 d^2 + 2 abcd) + (a^2 d^2 + b^2 c^2 - 2 abcd) = (ac + bd)^2 +(ad - bc)^2

ok merci je comprend mieux maintenant quand on a égalité avec +2abcd et -2abcd

[mathelot]

lire ici

.......

[nodjim]

Mathelot, pourquoi passes tu par les complexes dans cette question ?

[Robot]

nodjim, as-tu lu mon message ?

[nodjim]

Je signalais juste qu'on résout ce problème par la seule arithmétique.
(a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)²=(ac+bd)²+(ad-bc)²
Je pense que cette égalité était connue bien avant l'invention des complexes.

[Robot]

Peut-être, encore que je me permets de te demander une référence pour cette affirmation.

Ensuite, le passage par les complexes est tout de même, et de loin, le meilleur moyen de se rappeler de cette identité.

Petit problème : écrire

comme une somme de quatre carrés de polynômes du second degré en .

[aymanemaysae]

C'est l'identité des quatre carrés d'Euler:
(a^2+b^2+c^2+d^2)(p^2+q^2+r^2+s^2)
=(ap+bq+cr+ds)^2
+(aq-bp-ecs+edr)^2
+(ar+ebs-cp-edq)^2
+(as-ebr+ecq-dp)^2 avec e=1 ou e=-1 .

Merci d'avoir proposé cet exercice qui m'a permis de connaitre cette identité.

[Robot]

Le moyen le plus sûr de retrouver cette identité est d'utiliser la multiplication des quaternions, de même que le moyen le plus sûr de retrouver l'identité pour le produit de deux carrés est la multiplication des complexes.

[aymanemaysae]

Pour enrichir cette discussion, je poste ces quelques lignes que j'ai lu sur ce lien https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_des_quatre_carr%C3%A9s_d%27Euler :
Le mathématicien suisse Leonhard Euler donne cette identité le 4 mai 1748 (avec = 1)1, et de nouveau le 12 avril 1749 (avec = ±1), dans deux lettres à Christian Goldbach. Elle se démontre facilement par simple calcul d'algèbre élémentaire et est valide pour a, b, … , s appartenant à n'importe quel anneau commutatif. Dans le cas particulier où cet anneau est le corps des réels, on dispose d'une démonstration plus élégante : l'identité exprime le fait que la norme du produit de deux quaternions est égale au produit de leurs normes, de la même manière que l'identité de Brahmagupta pour les nombres complexes. Plus précisément, la double identité (pour = ±1) exprime que
||u(barre) v||=||u|| ||v||=||u v(barre)||, pour u=a1+b+cj+dk et v=p1+qi+rj+sk.
L'identité fut utilisée par Lagrange pour prouver son théorème des quatre carrés. D'ailleurs Euler, lorsqu'il la communique à Goldbach pour la deuxième fois, décrit une tentative de preuve de ce théorème (il tente d'appliquer la même méthode qui lui a livré la première preuve du théorème des deux carrés, dont le résumé se trouve au début de la même lettre). L'identité est utilisée en arithmétique modulaire.

[Robot]

A quoi sert de recopier wikipedia ? Le lien suffit.
Un autre lien pour l'histoire de l'identité sur le produit de sommes de deux carrés avant les complexes.

[aymanemaysae]

C'est seulement par amour de ce grand homme qu'est Leonhard Euler , que je voulais remercier à titre posthume en tapant son nom sur cette page.