Division euclidienne et congruences

[Khann]

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour lundi et j'aurai besoin de votre aide, je ne sais pas du tout comment les resoudre.

Exercice:

1. Démontrer par équivalence:

r est le reste de la division euclidienne de a par n si a ;) r [n] et 0 < (ou égal à) r < n.



2. On considere un entier naturel p>0. Calculer le reste de la division euclidienne de 10^p par 6.


Voilà, merci d'avance pour votre réponse.

[bellachia2012]

C'est facile à faire révisez le cours de la division euclidienne.

[Khann]

Facile à dire, même avec le cours sous les yeux je n'y arrive pas.

[nodjim]

Le 1) c'est du cours.

10^1=10= 4 mod 6
10²= 4*4 = 16 = 4 mod 6
et donc tous les suivants pareils

[Khann]

Mais pourquoi 10^2 = 16 ?
Pour moi 10^2 = 100
Mais bon merci, grace à toi je sais maintenant comment proceder pour cette question.
Sinon la démonstration de la 1) n'est pas dans mon cours.

[nodjim]

Le 1) c'est presque une définition, ça y ressemble beaucoup en tout cas.

Si 10=4 [6] alors 10*10=4*4
Démonstration
10=6+4
(6+4)²=6²+8*6+4²=4² [6]

[bellachia2012]

Je vous donne un exemple , le reste de la division euclidienne de 10^p par 6 se fait comme suit :
pour :
p=1 10^1 = 10;)4[6] càd si en divise 10/6 le résultat est 1 et les reste 4
p=2 10^2 ;) 4 x10 [6] ;) 4 [6]
.
.
.
.
p = n 10^n ;) 4 [6]
Doc quelque soit p le reste de la division euclidienne de 10^p par 6 est 4

[chan79]

Pour s'amuser, par récurrence

on suppose