Encadrement de la limite d'une suite (Term S)

[Kayowas]

Bonjour à tous,

Je vous soumets le problème suivant que j'ai rencontré sur un DM de maths de terminale S, et que je n'arrive pas à résoudre de manière rigoureuse.
Pour tout entier n non nul, on pose la suite Un = 1 + 1/2² + 1/3² +...+ 1/n² (vous aurez reconnu la suite du problème de Bâle) ainsi que la suite Un' = Un + 1/n
Dans un premier temps, on démontre que la suite Un est croissante et majorée et qu'elle converge donc vers une limite L. On montre ensuite que Un' est décroissante et converge elle aussi vers la même limite L. Jusque là pas de problème...
On demande ensuite un encadrement de L à 10;);) près, à l'aide d'un tableur ou de la calculatrice. C'est là que je ne suis pas sûr de moi : est ce que cela signifie que l'amplitude de l'encadrement (la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure) doit être égale à 10;);) ? Si oui, cela demande d'aller très loin dans le calcul des termes successifs de Un et Un'. En effet, pour n=10 000 (ce qui est déjà énorme), j'obtiens avec un tableur Un = 1,644834072 et Un' = 1,664934072 ce qui, je crois, me permet de donner l'encadrement de L suivant : [1,6448 ; 1,6650], encadrement dont l'amplitude est de 2.10;);)... Pour obtenir la bonne amplitude, je suis obligé de pousser le calcul jusqu'à n=29 354 où j'obtiens Un = 1,664900001 et Un' = 1,664934067, ce qui me permet de donner l'encadrement suivant : [1,6649 ; 1,6650] d'amplitude 10;);)...
Qu'en pensez-vous ? Suis-je totalement à coté de la plaque ? Ce qui me fait douter, c'est que le sujet prévoit qu'on puisse répondre à la question grâce au tableau d'une calculatrice, or je n'ose pas imaginer le calvaire que cela serait...
Merci d'avance pour votre aide.

[titine]

Non, à priori je suis d'accord avec toi.

[Kayowas]

Merci pour ta réponse qui me rassure :we:

[Lostounet]

Hello,

C'est bon pour tes encadrements. En fait la valeur exacte de la limite L est:
L=pi^2/6


Edit: est-il possible d'extraire une suite de Un qui converge plus rapidement que Un vers L?
Qui converge le plus vite, Un ou Un'?

[Kayowas]

Bonjour Lostounet,

Merci pour ta réponse. Mon raisonnement semble donc le bon. Mais je ne sais pas comment on est censé répondre à la question avec la calculatrice.
Au sujet d'une suite convergeant plus rapidement, le sujet propose par la suite de travailler sur une méthode d'accélération de la convergence, notamment grâce aux suites Un' et Vn = Un + 1/(n+1) qui convergent toutes les 2 beaucoup plus vite vers L (n=121 pour établir le même encadrement).
Très intéressant !