DM sur les suites complexes et les limites

[pinet1998]

Bonjour, alors je n'ai pas du tout compris ce DM et j'ai impérativement besoin d'aide.

On considère la suite complexe Z définie par: z0 est un nombre complexe donné et pour tout n appartient à N, z(n+1) = (zn)^2
L'objectif de cet exercice est de déterminer pour quelles valeurs de z0 cette suite ''reste bornée'' c'est à dire que la suite (mn) est la suite réelle définie pour tout entier naturel n par mn= valeur absolue de zn
Remarque: Attention, on ne peut comparer deux nombres complexes, donc les mots majorés et minorés n'ont aucun sens pour la suite Z. Le caractère ''borné'' de Z est donc défini par le fait que la suite des modules des termes est bornée ( en fait, majorée car la suite des modules est toujours minorée par 0). Ainsi, dire que Z reste bornée revient à dire que les images des termes de la suite dans un repère (O, vecteur u, vecteur v) sont toutes contenues dans un cercle centré en O ( le rayon du cercle étant un majorant de la suite des modules)

1. Modifier l'algorithme suivant pour qu'il affiche les 15 premiers termes de la suite Z et leur module lorsque l'on saisit z0 en entrée.

Déclaration des variables
z est un nombre complexe
i est un entier naturel
Entrée
Lire z
Traitement
Donner à i la valeur 0
Tant que i<100 faire
Donner à z la valeur z2
Donner à i la valeur i+1
Sortie
Afficher z

2. Avec Algobox, programmer l'algorithme modifié précedemment ( Attention, algobox ne gère pas les nombres complexes, ainsi un nombre complexe est stocké dans deux variables l'une correspondant à sa partie réelle et l'autre à sa partie imaginaire)

3. Ouvrir le lien que je peux envoyer par mail ou message privé.
a. Saisir dans zone de saisie: z_0^2. Vous consaterez que geogebra contrairement à algobox, Geogebra gère les nombres complexes et qu'il représente un nombre complexe dans le plan par son image.
b. Construire ainsi les 10 premiers termes de la suite Z et leurs images.
c. En déplaçant, le point A conjecturer l'ensemble des points A pour lesquels la suite des modules reste bornée. Pour vous aider, il pourrait être utile d'afficher le cercle de centre O et de rayon valeur absolue de z0 en cochant la case ''Cercle''.
Justification de la conjecture
4.a. Justifier que lorsque valeur absolue de z0 = 1 ou lorsque valeur absolue de z0 = 0 la suite (mn) est constante.
b. Démontrer par récurrence que lorsque 0< valeur absolue de z0< 1, la suite (mn) est strictement décroissante. Etant donné que la suite (mn) est minorée par 0, on pourra démontrer plus tard dans l'année que la suite (mn) converge ce que l'on admet ici.
c. Démontrer par récurrence que lorsque valeur absolue de z0>1, la suite (mn est strictement croissante. On pourra démontrer plus tard dans l'année que la suite (mn) diverge vers + l'infini ce que l'on admet ici.
d. Conclure concernant le caractère ''borné'' ou non de la suite (zn) en fonction de z0
Je vous remercie d'avance