Nombre complexe et suite

[alghmity]

Bonjour, j'ai un dm à faire et je bloque sur une question dans un des exercices.

Exercice : on considere la somme suivante Sn=1+e^i;)+e^i2;)+...+e^in;) (;) appartient à R)

J'ai déjà trouvé la question 1 et 2 où il fallait trouver le nombre de termes de la suite (n+1 termes) et la raison (e^i;)).

3) Calculer Sn grâce à une formule du cours.

J'ai utilisé la formule : 1er terme x (1-q^nb de termes/1-q)
Donc j'ai développé :
S=1x(1-(e^i;))^n+1/1-e^i;))
Et avec la formule (e^i;))^n=e^in;)
J'ai changé en S = (1-e^(n+1)i;))/(1-e^i;))
Est-ce suffisant pour répondre à la question ?

4) Determiner la forme algébrique de Sn et en deduire l'expression de la somme : Cn=1+Cos;)+cos(2;))+...+cos(n;))

C'est là que je bloque (en supposant que j'avais bon à la question précédente), je ne vois pas comment je peux faire pour mettre S = (1-e^(n+1)i;))/(1-e^i;)) sous forme algébrique. Et pour avoir Cn il faudra utiliser la partie réelle non ?

5) Calculer la valeur exacte de C2016 en remplaçant ;) par pi/2

Merci de votre aide :)

[low geek]

Bonjour,

Oui ta question 3 est juste ;)

Pour passer en écriture algébrique il faut (je pense) que tu détermine l'argument et le module de ton résultat. ;)

[alghmity]

Bonjour, merci d'avoir répondu.

J'ai réfléchi à votre réponse mais n'ayant pas trouvé j'ai essayé une autre méthode.
Vu que c'est un quotient, je voulais multiplier par le conjugué de 1-e^i;) qui (si je ne me suis pas trompée) est 1+e^-i;).
Donc je voulais savoir si le conjugué de 1-e^i;) c'est bien 1+e^-i;).

[low geek]

J'ai pas de feuille pour vérifier donc c'est pas forcément évident^^
Mais il em semble de tête que oui ;)
En écrivant la forme exponentielle en forme trigo (donc avec cos(O)+isin(O) )
et en utilisant les formules: cos(x)=cos(-x) et -sin(x)=sin(-x) il me semble que c'est ça :).

Ton idée est bonne sinon en effet.

[alghmity]

Bonsoir,

Donc j'ai continué de développer, ce qui donne :

=((1-e^(n+1)i;))x(1+e^-i;)))/((1-e^i;))x(1+e^-i;)))
=((1+e^(-i;))-e^((n+1)i;))-e^(n+1)i;)-i;))/(1+e^(-i;))-e^i;))
=((1+e^(-i;))-e^(n+1)i;)-e^ni;))/(1+e^(-i;))-e^i;))

Après je remplace avec les formules trigonométriques :

(1+cos;)-isin;)-(cos(n+1);)+isin(n+1);))-(cos(n);)+isin(n)))/(1+cos;)-sin;)-(cos;)+isin;)))

Voilà alors déjà je ne suis pas sûre que ce soit bon, et après je ne vois pas ce que je dois en faire...