Fonction cosinus

[pluie2]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir de l'aide dans cet exercice :

Pour tout entier n, on pose f_n(x)=cos(2nA(x)) avec A(x)= arcsin(x).

a) Calculer f_0, f_1, f_2
b) Soient a et b deux réels, exprimer cos(a+b)+cos(a-b) uniquement en fonction de cos(a) et cos(b)
c) En déduire que pour tout entier n on a pour tout x appartenant à [-1,1], f_(n+2)(x)+f_n(x)=2(1-2x²)f_(n+1)(x)

j'ai fait :

1. f_0(x)=cos(0)=1 ; f_1(x)=cos(2A(x))=cos(2arcsin(x))=1-2x²; f_2(x)=cos(4arcsin(x))=1-4x²
2. cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
3.
'est ici que je bloque:
f_(n+2)(x)+f_n(x)= cos(2(n+2)A(x))+cos(2nA(x))=cos(2nA(x)+4A(x))+cos(2nA(x))=cos(2nA(x))cos(4A(x))-sin(2nA(x))sin(4A(x))+cos(2nA(x))

pouvez vous m'aider ? merci !

[jlb]

oui :ptdr:

[jlb]

tu cherches a et b tels que a+b=2(n+2)A(x) et a-b=2nA(x) pour appliquer la question précédente!

tu trouves a=2nA(x)+2A(x)=2(n+1)A(x) et b=2A(x)
et donc ton expression vaut 2f_(n+1)(x)*cos(2a(x)) et en utilisant la première question, tu as ton résultat.

[pluie2]

juste une chose :

je ne comprends pas comment vous trouvez ceci : tu trouves a=2nA(x)+2A(x)=2(n+1)A(x) et b=2A(x)

[jlb]

juste une chose :

je ne comprends pas comment vous trouvez ceci : tu trouves a=2nA(x)+2A(x)=2(n+1)A(x) et b=2A(x)

tu résous le système a+b = 2(n+2)A(x) et a-b=2nA(x)

du coup 2a=4nA(x) +4A(x) et 2b=4A(x)

ce qui te donne le résultat annoncé

[Sake]

Bonjour à tous, j'aimerais avoir de l'aide dans cet exercice :

Pour tout entier n, on pose f_n(x)=cos(2nA(x)) avec A(x)= arcsin(x).

a) Calculer f_0, f_1, f_2
b) Soient a et b deux réels, exprimer cos(a+b)+cos(a-b) uniquement en fonction de cos(a) et cos(b)
c) En déduire que pour tout entier n on a pour tout x appartenant à [-1,1], f_(n+2)(x)+f_n(x)=2(1-2x²)f_(n+1)(x)

j'ai fait :

1. f_0(x)=cos(0)=1 ; f_1(x)=cos(2A(x))=cos(2arcsin(x))=1-2x²; f_2(x)=cos(4arcsin(x))=1-4x²
2. cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
3.
'est ici que je bloque:
f_(n+2)(x)+f_n(x)= cos(2(n+2)A(x))+cos(2nA(x))=cos(2nA(x)+4A(x))+cos(2nA(x))=cos(2nA(x))cos(4A(x))-sin(2nA(x))sin(4A(x))+cos(2nA(x))

pouvez vous m'aider ? merci !

Salut Pluie2

1) Tu es sûre de toi pour cos(4arcsin(x)) ? On a cos(4arcsin(x)) = cos(2*2arcsin(x)) = 2cos²(2arcsin(x)) - 1 = 2*(1 - 2x²)² - 1 = 2*(1 - 4x² + 4x;)) - 1 = 1 - 8x² + 8x;)

2) Oui

3) Soit tu le vois de tête, soit tu le vois pas de tête. Dans tous les cas, on peut le retrouver :
Il faut identifier 2(n+2)A(x) sous la forme a+b et 2nA(x) sous la forme a-b. En résolvant ce tout petit système par combinaison, on trouve que a = 2(n + 1)A(x), et b = 4A(x), donc

f_{n+2}(x) + f_n(x) = 2*cos(2(n + 1)A(x))cos(4A(x))

Or tu sais que cos(4A(x)) n'est rien d'autre que f_2, qui vaut 1 - 2x², et que cos(2(n + 1)A(x)) est f_{n+1}, d'où la conclusion

[pluie2]

ok merci jlb :)

merci beaucoup Sake pour la remarque j'ai écrit trop vite (et réfléchis aussi) :)