Questions simples de topologie...

[MouLou]

ATTENTION: convergence uniforme et non simple. x^{n} ne converge pas uniformément...

[Lostounet]

Je croyais que convergence uniforme => convergence simple et que donc si ça marche pas pour la convergence simple ça ne marche pas pour l'uniforme...

Tu utilises bien la discontinuité pour infirmer la convergence uniforme?

[MouLou]

Comprends Pas. cette fonction converge simplement mais pas uniformément

Je comprends pas ton raisonnement. Tu pars d'une suite de fonctions continue qui converge uniformément, et tu veux montrer qu'elle est dans X hein

[Lostounet]

Justement j'essaye de voir si elle est dans X ou pas.
Car si comme tu le dis la suite (fn) ne converge pas uniformément, alors X n'est pas un fermé...?

Pour montrer que x^n ne converge pas uniformément, je montre qu'elle converge simplement vers un truc discontinu sur [0;1]... si c'est faux pourquoi?

[MouLou]

Justement j'essaye de voir si elle est dans X ou pas.
Car si comme tu le dis la suite (fn) ne converge pas uniformément, alors X n'est pas un fermé...?

Pour montrer que x^n ne converge pas uniformément, je montre qu'elle converge simplement vers un truc discontinu sur [0;1]... si c'est faux pourquoi?

C'est vrai, tout simplement par ce que si une suite de fonction continues converge uniformément vers f, alors f est continue, mais ca ne t'avance a rien. Trouver de suites qui ne converge pas ne fait pas que ton espace n'est pas fermé!

Fermé, en gros. ca veut dire que tu peux pas en sortir en t'y prenant petit à petit (petit à petit au sens de la norme)

[Lostounet]

Excuse-moi MouLou mais je suis un peu perdu car je ne vois plus si X est fermé ou pas.

Pour moi, X est un fermé de l'espace des fonctions continues ssi X contient la fonction limite de toute suite que je puisse considérer.
En prenant la suite fn pour la norme infinie, qu'est-ce qui se passe? Elle ne converge pas uniformément, donc sa limite n'existe pas dans X? :triste: ?

[MouLou]

De toute suite qui CONVERGE, oui. et je pense que tu dois savoir que la limite d'une suite de fonctions continues qui converge uniformément est continue.

Donc à partir de ce constat, si f_{n} suite de X qui converge uniforémement vers f, alors f est continue, donc f est dans X, donc X est fermé

[Lostounet]

Ah oui :ptdr: il faut que la suite converge. Je suis bête des fois !
C'est tout simple en fait car la limite uniforme conserve la continuité...

Excuse-moi :ptdr:

La raison pour laquelle je me suis posé cette petite question: pour voir que l'intersection de la boule fermée avec X est bien fermée, qu'elle est aussi bornée (c'est évident puisque l'espace d'arrivée de Y est un segment non ...?)

En tout cas merci bien pour les explications :D

[zygomatique]

salut

un exemple simple de fonction C1 qui ne converge pas dans C1([0, 1], R) :

on a évidemment pour tout n ::

et pour tout x 0

donc sa limite n'est pas continue ....


:lol3:


on remarquera que les f_n sont bornées ....

[MouLou]

Salut Zygo, est ce qu'on peut dire que ta suite de fonction est un bon contre exemple a la compacité de la boule unité de C([0,1]) du coup?

Edit: Chuis con, x^{n} marche aussi très bien

[zygomatique]

il me semble ...

ou à la compacité tout court ... ça contredit la fermeture ....

en fait oui x^n marche tout aussi bien ...

bienvenue dans la confrérie .... :ptdr: :ptdr:

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple :mur: ....

[MouLou]

Je comprends pas pourquoi cela contredit la fermeture??
même pour la norme C^{1}

[zygomatique]

oui je confonds peut-être fermeture et complétude ....

[jlb]

Quelle définition as tu de compact?Dans le cas d'un espace vectoriel normé (ou meme un espace métrique) N'y a t'il pas 2 conditions nécéssaires très simples pour la compacité? Chose qu'on voit en général juste apres la définition d'un compact.

Par exemple une suite non bornée peut elle avoir une valeur d'adhérence?

Ps:Borel-lebesgue est vrai partout, c'est meme la définition d'un compact en topologie générale

Salut Moulou, tu attendais quoi comme réponse à ta question? ( u_2n=1 et u_(2n+1)=n )
C'est juste pour Lostounet que cela soit clair pour lui.

[MouLou]

Pardon tu as raison! c'est plutot "une suite non bornée a t'elle forcément une valeur d'adhérence"!