Graphe Connexe

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Graphe Connexe

par Lostounet » 28 Oct 2015, 18:51

Bonjour,

Je dois montrer que le graphe de f(x) = 1/x de R* dans R* n'est pas connexe.

Pour cela, je dois pouvoir partitionner le graphe en deux ouverts non vides... En fait j'ai l'impression que c'est en lien avec les deux branches de l'hyperbole...

Ou bien ça n'a rien à voir?
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MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 18:56

Lostounet a écrit:Bonjour,

Je dois montrer que le graphe de f(x) = 1/x de R* dans R* n'est pas connexe.

Pour cela, je dois pouvoir partitionner le graphe en deux ouverts non vides... En fait j'ai l'impression que c'est en lien avec les deux branches de l'hyperbole...

Ou bien ça n'a rien à voir?


Oui. Tu peux inclure chacun des 2 branches dans 2 ouverts disjoints

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 19:07

La question qui tue: ça ressemble à quoi des ouverts sur une courbe :ptdr:

J'ai une folle envie de considérer la réunion infinie d'ouverts (heureusement ouverte aussi) des B(1/x; epsilon) pour x > 0
Et aussi des B(1/x; epsilon) pour x < 0

Est-ce que ça a un sens?
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Robot

par Robot » 28 Oct 2015, 19:14

Lostounet a écrit:La question qui tue: ça ressemble à quoi des ouverts sur une courbe :ptdr:


Même pas mort ! Ca ressemble (très fortement) aux intersections de la courbe avec des ouverts du plan (par exemple des demi-plans ouverts !).

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 19:16

Euh.. par exemple [0;+oo[x [0; +oo[ ?

Dans ce cas.. c'est la courbe elle-même j'ai envie de te dire.
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Robot

par Robot » 28 Oct 2015, 19:25

Lostounet a écrit:Euh.. par exemple [0;+oo[x [0; +oo[ ?

Dans ce cas.. c'est la courbe elle-même j'ai envie de te dire.


Euh... Tu penses vraiment que [0;+oo[x [0; +oo[ est un ouvert du plan ?
Ca va mieux avec ]0;+oo[x ]0; +oo[ (le quadrant ouvert).
Et tu penses vraiment que l'intersection de ce quadrant ouvert avec l'hyperbole est l'hyperbole toute entière ?

Skullkid
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par Skullkid » 28 Oct 2015, 19:25

Salut, d'abord il faut bien dire dans quel espace tu te places. Le graphe de la fonction inverse de R* dans R* (appelons-le C) est défini comme un sous-ensemble de (R*)^2 (donc plus simplement de R^2). Donc, a priori quand tu vas parler d'ouverts, il s'agira d'ouverts du plan.

Après tu peux choisir de limiter ton espace ambiant à C, auquel cas tu peux parler d'ouverts de C, qui sont les intersections de C avec les ouverts de R^2.

Quel que soit ton choix tu ne risques pas d'avancer en considérant des objets comme B(1/x,epsilon), qui sont des ouverts de R.

Edit : collision avec les posts de Robot, mieux vaut suivre sa piste ^^

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 19:26

Lostounet a écrit:Euh.. par exemple [0;+oo[x [0; +oo[ ?

Dans ce cas.. c'est la courbe elle-même j'ai envie de te dire.


Ou plutot la demi courbe, et .

Oui, une courbe "continue" est ouverte dans elle même :)

Edit: pareil que Kenny :+++: :+++: :+++:

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Lostounet
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par Lostounet » 28 Oct 2015, 19:40

Robot a écrit:Euh... Tu penses vraiment que [0;+oo[x [0; +oo[ est un ouvert du plan ?
Ca va mieux avec ]0;+oo[x ]0; +oo[ (le quadrant ouvert).
Et tu penses vraiment que l'intersection de ce quadrant ouvert avec l'hyperbole est l'hyperbole toute entière ?


Oui pardon ]0;

Et oui je pense vraiment que l'intersection du quadrant ouvert avec l'hyperbole est la branche positive de l'hyperbole qui m'intéresse. :bad:

@Skullkid: Ok donc je ne peux pas considérer des boules B(1/x; epsilon) ... car en fait c'est des boules.. centrées en des réels... :doh: Mais vous voyez ce que je voulais faire: recouvrir l'hyperbole :ptdr:

En tout cas il faudrait que je parvienne à exprimer la branche positive comme quelque chose d'ouvert... Je vois pas du tout ce que ça pourrait être.

Je peux partager le premier quadrant en 3: au-dessus de 1/x, 1/x et en bas de 1/x...Une histoire de voisinages/frontières..
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Robot

par Robot » 28 Oct 2015, 19:46

Lostounet a écrit:Et oui je pense vraiment que l'intersection du quadrant ouvert avec l'hyperbole est la branche positive de l'hyperbole qui m'intéresse.
...
En tout cas il faudrait que je parvienne à exprimer la branche positive comme quelque chose d'ouvert... Je vois pas du tout ce que ça pourrait être.


??????

De manière générale, si A est une partie de l'espace topologique X, les ouverts de A (pour la topologie induite par celle de X) sont les intersections de A avec les ouverts de X.

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 19:47

Reprend le post de Kenny. Soit clair sur qoui tu travailles:

Un espace (munie d'une topologie) est connexe s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de 2 ouverts disjoints.

Une PARTIE A d'un espace X est connexe si, si A inclus dans O1 union O2 avec O1 et O2 ouverts disjoints de X alors ou .

Donc en soit si tu travailles dans tu n'as besoin que des les inclures dans des ouverts disjoints de pour montrer que ce n'est pas connexe

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 19:48

Ok donc je dois étudier les intersections des ouverts de X avec H+ ...c'est bien ça?
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MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 19:49

C'esst quoi X ici?

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 19:56

D'accord reprenons.

Soit H le graphe de la fonction 1/x. C'est une hyperbole, et je souhaites montrer que ce graphe n'est pas connexe.

Je propose d'écrire H comme union de H+ et H- de deux branches d'hyperboles de montrer que H+ est un ouvert de R^2 ainsi que H- un ouvert de R^2. Est-ce que c'est vrai ça?

Le problème avec ce que je viens de dire, c'est que H inter H+ n'est pas vide... Et donc ça ne colle pas avec ce que tu dis.

Donc pour suivre ta piste, je peux inclure H dans deux ouverts disjoints de R^2... comme par exemple ]-oo;0[ x ]0; -oo[ et ]0; +oo[^2 ?
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Robot

par Robot » 28 Oct 2015, 20:02

Lostounet a écrit:D'accord reprenons.

Soit H le graphe de la fonction 1/x. C'est une hyperbole, et je souhaites montrer que ce graphe n'est pas connexe.

Je propose d'écrire H comme union de H+ et H- de deux branches d'hyperboles de montrer que H+ est un ouvert de R^2 ainsi que H- un ouvert de R^2. Est-ce que c'est vrai ça?


Non. H+ n'est certainement pas un ouvert du plan, voyons ! (C'est un fermé par contre). Et ce n'est pas ça qu'on vise : il suffit de montrer que H+ et H_ sont des ouverts de H. Et répétons encore une fois : les ouverts de H sont les intersections de H avec des ouverts du plan.



Lostounet a écrit:Donc pour suivre ta piste, je peux inclure H dans deux ouverts disjoints de R^2... comme par exemple ]-oo;0[ x ]0; -oo[ et ]0; +oo[^2 ?


Dans la réunion de deux ouverts disjoints.
]0; -oo[ : bizarre bizarre ...

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 20:11

Je voulais juste dire ]-oo;0[ ^2 :ptdr:
H+ ouvert de H mais pas ouvert du plan... d'accord...

Est-ce que c'est bon ...?
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Skullkid
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par Skullkid » 28 Oct 2015, 21:22

Pour résumer, tu as deux manières de procéder (qui reviennent en fait au même) :

- Tu montres que H+ et H- sont deux ouverts de H (rappel : un ouvert de H c'est l'intersection de H avec un ouvert de R^2). Tu auras alors écrit H comme réunion de deux ouverts disjoints de H.

- Tu trouves deux ouverts disjoints O+ et O- de R^2 tels que H+ est inclus dans O+ et H- est inclus dans O-.

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par Lostounet » 28 Oct 2015, 21:35

Merci Skullkid je vais rédiger.
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