Congruence et Divisibilite - Tle S

[Combattant204]

Bonjour tout le monde,j'ai un exercice dont j'aimerais votre aide.

1.Determiner le reste dans la division par 13 de 5^4.
2.a.Demontrer que si n = 4k + r ou k et r sont des entiers naturels tells que 0 <=r < 4,alors 5^n a meme reste que 5^r dans la division par 13.
b.En deduire en function de n,le reste dans la division par 13 de 5^n.
3.Pour tout entire n E N,on pose Un = 5^3n + 5^2n + 5^n + 1.
Pour quells entiers n,Un est-il divisible par 13?

1. 5^5 = 625 = 13*48 + 1.
Le reste est 1 car 0 <= 1 < 13.

2.J'aimerais que vous me dite quoi faire ici.

Merci.

[Grimmys]

Salut,

Oh tiens ! J'ai eu le même DM il y a peu de temps.

Bref, pour le 1., malgré la justesse du résultat, ce n'est pas exactement la façon de faire attendue : Comme pour le reste de l'exercice, il faut se servir des congruences ( logique ) et des différentes opérations que l'on peut effectuer avec, celles que tu as normalement vus en cours.

[Combattant204]

Salut,

Oh tiens ! J'ai eu le même DM il y a peu de temps.

Bref, pour le 1., malgré la justesse du résultat, ce n'est pas exactement la façon de faire attendue : Comme pour le reste de l'exercice, il faut se servir des congruences ( logiques ) et des différentes opérations que l'on peut effectuer avec, celles que tu as normalement vus en cours.

Salut!
Oui les congruences me sont venu en tete mais je sais pas comment les appliquer pour demontrer ce qui est demande en 2.

[chan79]

Salut!
Oui les congruences me sont venu en tete mais je sais pas comment les appliquer pour demontrer ce qui est demande en 2.

25=-1 modulo 13

[Combattant204]

25=-1 modulo 13

Qu'est ce que vous voulez dire par ca? pouvez vous me detailler?

[chan79]

Qu'est ce que vous voulez dire par ca? pouvez vous me detailler?

modulo 13, tu as:
5^4=(5²)²=25²=(-1)²=1 car 25=-1 (13) en effet 25=2*13-1

[Combattant204]

Bonjour tout le monde,j'ai un exercice dont j'aimerais votre aide.

1.Determiner le reste dans la division par 13 de 5^4.
2.a.Demontrer que si n = 4k + r ou k et r sont des entiers naturels tells que 0 <=r < 4,alors 5^n a meme reste que 5^r dans la division par 13.
b.En deduire en fonction de n,le reste dans la division par 13 de 5^n.
3.Pour tout entire n E N,on pose Un = 5^3n + 5^2n + 5^n + 1.
Pour quells entiers n,Un est-il divisible par 13?

1. 5^5 = 625 = 13*48 + 1.
Le reste est 1 car 0 <= 1 < 13.

2.J'aimerais que vous me dite quoi faire ici.

Merci.

OHHH je l'ai eu enfin après avoir essaye encore une fois!!!

Je note le signe de congruence C.

1) 5^4 C 1 (13) et 0 <= 1 < 13.Alors le reste est 1.

2) Deux nombres congrus ont meme restes.Donc montrer que 5^n et 5^r ont meme reste dans la division euclidienne par 13,revient a prouver que: 5^n C 5^r (13) et n = 4k + r.

5^n = (5^4)^(k + r)

On sait a partir de 1) que:

5^4 C 1 (13) (puissance k on a)
5^4K C 1^K (13) (fois 5r on a)
5^(4k + r) C 1(^k) * 5^r (13) (et 1^k est negligeable)
5^(4k + r) C 5^r (13) Or 5^(4k + r) = 5^n.
5^n C 5^r (13)

Ainsi 5^n et 5^r ont meme reste dans la division euclidienne par 13.

[Combattant204]

De l'aide pour la 2)b) je sais pas quoi faire.

[nodjim]

5^1=5
5²=12=-1 [mod 13]
5^3= 5²*5=(-1)*5=-5= 8 [mod 13]
5^4=5²-5²=(-1)*(-1)=1 [mod 13]

il n'y a pas d'autre reste pour les puissances de 5 modulo 4.