Dérivée intervalle

[pokpak]

Bonsoir,
Se posent à moi aujourd'hui 2 questions :

-Si f est dérivable respectivement sur [0;1] et [1;2], est- elle dérivable sur [0;2] ? d'après le corrigé du livre non ... Je ne vois pas trop, il se peut que ce soit une erreur ou alors je ne comprends pas.

De plus j'ai trouvé sur internet quelqu'un qui disait (en parlant de la fonction inverse) :

"on peut dire que f est derivable sur R prive de 0
le danger est le suivant:
pour tout x de R prive de 0, f'(x)<0
donc f est decroissante sur R prive de 0.
Ce qui est faux ...
Moralite mieux vaut parler de derivabilite sur un intervalle."

Euh oui d'accord, mais c'est faux non, la fonction inverse est bien décroissante sur R*, Non ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Considère la fonction définie sur par .

En restreignant l'ensemble des valeurs de départ de , on a :
est dérivable sur donc sur ;
est dérivable sur donc sur .

Or n'est pas dérivable en car le nombre dérivé de à gauche et à droite est différent.

et .

:+++:

[capitaine nuggets]

De plus j'ai trouvé sur internet quelqu'un qui disait (en parlant de la fonction inverse) :

"on peut dire que f est derivable sur R prive de 0
le danger est le suivant:
pour tout x de R prive de 0, f'(x)<0
donc f est decroissante sur R prive de 0.
Ce qui est faux ...
Moralite mieux vaut parler de derivabilite sur un intervalle."

Euh oui d'accord, mais c'est faux non, la fonction inverse est bien décroissante sur R*, Non ?

On parle de la monotonie d'une fonction sur un intervalle, pas sur une réunion d'intervalles.

[pokpak]

Merci beaucoup !

Mais du coup pour ma question sur la fonction inverse, ai-je raison ou n'ai-je pas bien compris ?

[pokpak]

Je crois saisir,
Mais la fonction inverse est décroissante sur R*, alors est-ce faux de le dire, ou est-ce vrai "officieusement" mais on ne peut pas le dire car on ne peut pas parler de monotonie sur une réunion d'intervalle ?

[capitaine nuggets]

Le problème qui peut se poser, c'est que si tu dis que la fonction inverse est décroissante sur , on pourrait alors dire que, par définition d'une fonction décroissante :

Si tu prends deux réels non nuls et tels que .

Or c'est faux ! Par exemple, si tu prends, et , on a .

:+++:

[titine]

Je crois saisir,
Mais la fonction inverse est décroissante sur R*, alors est-ce faux de le dire, ou est-ce vrai "officieusement" mais on ne peut pas le dire car on ne peut pas parler de monotonie sur une réunion d'intervalle ?

La fonction inverse est décroissante sur ]-inf;0[ et elle est décroissante sur ]0;+inf[ mais on ne peut pas dire qu'elle est décroissante sur R*.
En effet :
Si a et b appartiennent à ]-inf;0[ et si a 1/b
De même si a et b appartiennent à ]0;+inf[
Par contre, si a et b appartiennent à R* et si a 1/b.
En effet si a < 0 < b alors 1/a < 1/b

[pokpak]

MERCI ! :ptdr: