Polynôme d'un endomorphisme

[mathelot]

bonjour,
je regarde les endomorphismes dans mon livre d'algèbre linéaire (Grifone) mais je ne suis pas encore arrivé
à Cayley-Hamilton.

Que peut on dire d'un endomorphisme de polynôme caractéristique


si où est le sous espace propre associé à la vp

Quel résultat pouvons nous attendre du trinôme non scindé sur R ?

merci.

[Lostounet]

Hello,

Si tu travailles sur R, le polynôme X^2 + X + 1 est irréductible et tu ne peux pas extraire des racines réelles (delta < 0). Tu ne pourras donc pas trouver des valeurs propres réelles auxquelles seront associés des vecteurs propres (avec des coordonnées réelles non toutes nulles).

Par contre si tu acceptes de te placer dans C, tu peux scinder P et extraire des racines complexes (une racine réelle et deux racines complexes conjuguées).

Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité est que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples sur le corps K sur lequel on travail. Vu que c'est pas le cas, le seul espoir est que la multiplicité algébrique de la valeur propre 2 corresponde à la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé) et dans ce cas c'est bon.

Mais vu que c'est pas le cas, tu as u non diagonalisable sur C.

Par contre u est un endomorphisme trigonalisable puisque son polynôme est scindé sur C (CNS de trigonalisation) sans besoin de racines simples cette fois.

Si quelqu'un pouvait préciser mon propos ou m'indiquer d'éventuelles erreurs.

[mathelot]

Hello,

Si tu travailles sur R, le polynôme X^2 + X + 1 est irréductible et tu ne peux pas extraire des racines réelles (delta < 0). Tu ne pourras donc pas trouver des valeurs propres réelles auxquelles seront associés des vecteurs propres (avec des coordonnées réelles non toutes nulles).

Par contre si tu acceptes de te placer dans C, tu peux scinder P et extraire des racines complexes (une racine réelle et deux racines complexes conjuguées).

Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité est que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples sur le corps K sur lequel on travail. Vu que c'est pas le cas, le seul espoir est que la multiplicité algébrique de la valeur propre 2 corresponde à la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé) et dans ce cas c'est bon.

Mais vu que c'est pas le cas, tu as u non diagonalisable sur C.

Par contre u est un endomorphisme trigonalisable puisque son polynôme est scindé sur C (CNS de trigonalisation) sans besoin de racines simples cette fois.

Si quelqu'un pouvait préciser mon propos ou m'indiquer d'éventuelles erreurs.

merci pour ta réponse. je préciserai si mon niveau en AL augmente...

[MouLou]

Hello,

Si tu travailles sur R, le polynôme X^2 + X + 1 est irréductible et tu ne peux pas extraire des racines réelles (delta < 0). Tu ne pourras donc pas trouver des valeurs propres réelles auxquelles seront associés des vecteurs propres (avec des coordonnées réelles non toutes nulles).

Par contre si tu acceptes de te placer dans C, tu peux scinder P et extraire des racines complexes (une racine réelle et deux racines complexes conjuguées).

Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité est que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples sur le corps K sur lequel on travail. Vu que c'est pas le cas, le seul espoir est que la multiplicité algébrique de la valeur propre 2 corresponde à la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé) et dans ce cas c'est bon.

Mais vu que c'est pas le cas, tu as u non diagonalisable sur C.

Par contre u est un endomorphisme trigonalisable puisque son polynôme est scindé sur C (CNS de trigonalisation) sans besoin de racines simples cette fois.

Si quelqu'un pouvait préciser mon propos ou m'indiquer d'éventuelles erreurs.

Je ne savais pas du tout quoi répondre à la question pour la simple raison que je n'ai strictement aucune idée du niveau de mathelot en algebre linéaire. Mais tout est jute dans ce que tu dis .

Si tu veux mathelot en algèbre linéaire il ya un excellent bouquin de Rached Mneimé et Roger Mansuy: Algebre linéaire. Cela fait tout ce qu'il faut savoir sur la reductions endomorphisme jusqu'à la licence je pense, et avec beaucoup de concision et de clarté.

[Kolis]

Hello,
...

Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité est que le polynôme caractéristique soit scindé à racines simples sur le corps K sur lequel on travail. Vu que c'est pas le cas, le seul espoir est que la multiplicité algébrique de la valeur propre 2 corresponde à la multiplicité géométrique (dimension de l'espace propre associé) et dans ce cas c'est bon.
...

Si quelqu'un pouvait préciser mon propos ou m'indiquer d'éventuelles erreurs.

Bonsoir !
Pas d'accord avec le passage rappelé ci-dessus de ton message : "polynôme caractéristique scindé à racines simples " n'est pas nécessaire.
Le polynôme caractéristique de est , scindé et 1 racine d'ordre .

Peut-être voulais-tu dire "polynôme minimal" ?

[mathelot]

@Moulou: merci pour la référence.

[MouLou]

Bonsoir !
Pas d'accord avec le passage rappelé ci-dessus de ton message : "polynôme caractéristique scindé à racines simples " n'est pas nécessaire.
Le polynôme caractéristique de est , scindé et 1 racine d'ordre .

Peut-être voulais-tu dire "polynôme minimal" ?

Oui en effet tu as raison

[Lostounet]

J'ai donc encore confondu avec le minimal :ptdr:
C'est donc une condition suffisante. Et comme le minimal divise le caractéristique (Cayley-Hamilton) avec les mêmes racines...ça devient une CNS pour lui?

[Kolis]

Bonjour !
Oui on a bien "polynôme minimal scindé à racines simples" nécessaire et suffisant pour la diagonalisation !

[mathelot]

K est le corps de base.

d'après ce que j'ai compris de mes lectures,
dans l'idéal des polynômes annulateurs de l'endomorphisme f
il y a ,certes, le polynome caractéristique
mais aussi le polynôme minimal.

Le critère de diagonalisation est l'existence d'un polynôme annulateur de f,
scindé (avec toutes ses racines dans K) et n'ayant que des racines simples.

On suppose que l'on peut factoriser le polynôme caractéristique
on garde ses racines avec une multiplicité de 1,
et on construit ainsi le polynôme minimal.
On s'assure que c'est un polynôme annulateur de f.

Le critère de trigonalisation est l'existence d'un polynôme caractéristique
scindé sur K.

c'est bon ?

[Lostounet]

Tout le pb est de savoir si c'est des conditions nécessaires ou suffisantes.

En fait le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Tu peux avoir un polynôme caractéristique non scindé à racine simple et quand même avoir la diagonalisabilité (comme In).

Par contre si tu sais que la matrice est bien diagonalisable, son minimal est scindé à racine simple (et réciproquement). Mais le minimal n'est pas "scindé simple" dans le cas non diagonalisable. Tout ce que tu en sais c'est qu'il divise le caractéristique par le théorème de CayleyHamilton. Ses racines sont exactement les valeurs propres.

Donc attention comment tu "vires" toutes les multiplicités, il faut et suffit d'avoir la diagonalisabilité.

Quelqu'un pour appuyer?

[Kolis]

Bonjour !
Je crois qu'on a déjà dit ceci, mais je répète car c'est un peu noyé :
1. Existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples est nécessaire et suffisant pour diagonaliser.
2. Existence d'un polynôme caractéristique scindé tel que, pour CHAQUE valeur propre de multiplicité , l'espace propre est aussi de dimension , est nécessaire et suffisant pour diagonaliser .

Tout ceci en dimension finie bien entendu.