Equation fonctionnelle [OIM 2015]
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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ffpower
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par ffpower » 14 Oct 2015, 20:35
Donc allons y. On suppose f(0)=0, et on veut montrer que f=Id. On veut donc étudier Fix(f)={x |f(x)=x} et montrer que Fix(f)=R
Je résume les propriétés que j'ai écrites dans mon premier post.
1) Pour tout x réel,
et
2)
et
3)
et
(note: mais en réalité, á part 2) je ne vais me servir de quasiment rien de tout ça :p)
Ma ligne de mire est de prouver que
.
(J'ai en effet noté un moyen simple de conclure á partir de cette implication).
Suite au prochain post, histoire d'aérer
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ffpower
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par ffpower » 14 Oct 2015, 20:51
Je pars donc de l'équation initiale, en posant un changement de variables
:
En particulier:
si
et
:
En prenant x=1 puis x=-1, j'obtient en particulier les 2 équations suivantes:
Si
:
En soustrayant les deux equations:
Si
:
Morale de ce post:Si
,
vérifie
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ffpower
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par ffpower » 14 Oct 2015, 21:01
Il existe un autre moyen de relier
et
:
Je repars de l'equation
et je fais z=0:
En remplaçant x par -x:
Je soustrais ces deux dernieres équations pour éliminer le
et obtenir une relation entre f(x) et f(-x):
qui peut se réécrire
Morale de ce post:Pour tout
:
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ffpower
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par ffpower » 14 Oct 2015, 21:19
Maintenant, je cumule le résultat des 2 posts précédents:
Si
, alors
vérifie les deux équations:
La résolution de ce systeme en
et
donne
et
Conclusion de tout ça:J'ai dit qu'il était facile de conclure á partir de cette implication. Voyons maintenant pourquoi:
Repartons de l'équation initiale:
Faisons
On sait que
(á cause de
)
Donc
, cad
Du coup, l'equation se simplifie en
:zen:
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chan79
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par chan79 » 14 Oct 2015, 22:37
ffpower a écrit:(Pour ça j ai par exemple reussi á prouver que f(n)=n pour n entier, mais ya peut etre meme plus immediat)
J'ai fait ça aussi, par récurrence. Je regarderai ton autre démo demain. :zen:
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chan79
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par chan79 » 15 Oct 2015, 10:42
ffpower a écrit:Morale de ce post:Si
,
vérifie
Bravo pour ta démo !!!
Un petit problème de signe ci-dessus mais qui ne remet pas en cause la suite.
Ca doit être
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ffpower
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par ffpower » 15 Oct 2015, 14:05
Merci :we:
Je rectifie de ce pas cette coquille :++:
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ffpower
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par ffpower » 15 Oct 2015, 23:14
pour le cas f(0)=2, j ai une solution courte:
pour y=1, l equation donne, aprés simplification
f(x+f(x+1))=x+f(x+1), donc:
pour tout x, x+f(x+1) est un point fixe de f
Pour x=0, l'equation devient
f(f(y))+2=f(y)+2y
En particulier, si y est point fixe de f, ça devient
y+2=y+2y
donc y=1. Ainsi
L'unique point fixe éventuel de f est 1
Conclusion:
Pour tout x, x+f(x+1)=1
Ça donne donc f(x)=2-x
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chan79
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par chan79 » 16 Oct 2015, 00:30
Super :++:
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Lostounet
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par Lostounet » 16 Oct 2015, 01:42
Bravo ffpower j'adore ta deuxième preuve. :id:
La première il faut que je relise.
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